Jumlah bahasa reguler yang berbeda


14

Diberi alfabet Σ={a,b} , berapa banyak bahasa reguler yang berbeda yang dapat diterima oleh otomat terbatas non-deterministik n -negara?

Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan n=3 . Kami kemudian memiliki 218 konfigurasi transisi yang berbeda dan 23 konfigurasi awal dan akhir yang berbeda, jadi kami memiliki batas atas 224 bahasa yang berbeda.
Namun, banyak dari ini akan setara dan karena pengujian untuk itu adalah PSPACE-Complete, mungkin tidak layak untuk menguji setiap pengaturan.
Adakah argumen sarana atau kombinatorial lain yang mengikat jumlah bahasa berbeda yang diterima oleh sumber daya yang diberikan?


Hanya ada 3 konfigurasi keadaan awal yang berbeda, bukan 23 .
FrankW

4
Gagasan cepat: bahasa reguler ditandai oleh banyak kelas kesetaraan, cf Myhill-Nerode. Berapa banyak rangkaian kelas ekivalensi yang dapat didukung oleh otomat n state?
Raphael

5
Mungkin bermanfaat bagi google untuk makalah "Pada jumlah bahasa yang berbeda yang diterima oleh automata terbatas dengan status" oleh Domaratzki, Kisman, dan Shallit.
Hendrik Jan

1
di sini adalah url paper citeseer
vzn

1
menemukan pertanyaan yang hampir sama di tcs.se: Berapa jumlah bahasa yang diterima oleh DFA ukuran n?
vzn

Jawaban:


11

Ini adalah ringkasan makalah tentang Jumlah Bahasa yang Berbeda yang Diterima oleh Finite Automata dengan n Negara . Makalah ini menyediakan relatif mudah, namun jauh dari batas ketat, bawah dan atas pada jumlah bahasa berbeda yang diterima oleh NFA. Diskusi mereka tentang jumlah DFA yang berbeda sangat mendalam, jadi saya juga akan memasukkan bagian itu.

Makalah ini dimulai dengan asimtotik yang cukup ketat untuk jumlah bahasa berbeda yang diterima oleh DFA dengan menyatakan lebih dari alfabet unary. Hal ini dilakukan dengan mengamati di bawah kondisi DFA n-negara unary tertentu minimal. Dalam kasus seperti itu deskripsi otomaton dapat dipetakan (secara objektif) ke kata primitif , dan penghitungan kata-kata tersebut diketahui dan dilakukan dengan bantuan fungsi Möbius . Dengan menggunakan hasil itu, batas untuk huruf non-unary, baik dalam DFA dan dalam kasus NFA, terbukti.nn

Mari kita bahas lebih detail. Untuk alfabet newsletter, tentukan f k ( n )k Perhatikan bahwagk(n)=Σ n i = 1 fk(i). Kita mulai denganf1(k)dang1(k).

fk(n)=the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n statesgk(n)=the number of distinct languages accepted by DFA's with n statesGk(n)=the number of distinct languages accepted by NFA's with n states
gk(n)=i=1nfk(i)f1(k)g1(k)

Pencacahan DFA Unary

DFA unary ( Q , { a } , δ , q 0 , F ) dengan status q 0 , ... , q n - 1 minimal iffM=(Q,{a},δ,q0,F)q0,,qn1

  1. Terhubung. Dengan demikian, setelah penggantian nama, diagram transisi terdiri dari satu lingkaran dan satu ekor, yaitu dan δ ( q n - 1 , a ) = q j untuk beberapa j n - 1δ(qi,a)=qi+1δ(qn1,a)=qjjn1 .
  2. Loopnya minimal.
  3. Jika , maka baik q j - 1F dan q n - 1F atau q j - 1F dan q n - 1F .j0qj1Fqn1Fqj1Fqn1F

Loop minimal IFF kata seorang jsebuah n - 1 didefinisikan oleh sebuah i = { 1qj,,qn1ajan1 adalahprimitif, yang berarti tidak dapat ditulis dalam bentukxk untuk beberapa kataxdan beberapa bilangan bulatk2. Jumlahψk(n)kata-kata primitif dengan panjangn diatashurufk-newsletter diketahui, lihat misalnya Lothaire,Combinatorics on Words. Kami memiliki ψk(n)=d | nμ(d)kn/

ai={1if qF,0if qF
xkxk2
ψk(n)nk manaμ(n)adalahfungsi Möbius. Dengan bantuan ψ k (n), makalah ini membuktikan formula yang tepat untuk f 1 (n)dan g 1 (n)dan menunjukkan bahwa asimtotik (Teorema 5 dan Konsol 6), g 1 ( n )
ψk(n)=d|nμ(d)kn/d
μ(n)ψk(n)f1(n)g1(n)
g1(n)=2n(nα+O(n2n/2))f1(n)=2n1(n+1α+HAI(n2-n/2)).

Pencacahan DFA

Langkah selanjutnya adalah batas bawah untuk . Teorema 7 menyatakan bahwa f k ( n ) f 1 ( n ) n ( k - 1 ) n ~ n 2 n - 1 n ( k - 1 ) n . Untuk set Δ Σ dari otomat M , tentukan M Δ sebagai batasan M ke Δfk(n)

fk(n)f1(n)n(k1)nn2n1n(k1)n.
ΔΣMMΔMΔ .
Sk,nMk{0,1,,k1}
  1. M{0}f1(n)n
  2. k1hi:QQ1i<kδ(q,i)=hi(q)1i<kqQ.

The observation is then that Sn,k mengandung f1(n)n(k-1)n bahasa yang berbeda dan minimal.

Pencacahan NFA

Untuk G1(n) seseorang memiliki batas bawah yang sepele 2n, karena setiap subset ϵ,Sebuah,...,Sebuahn-1 dapat diterima oleh beberapa NFA dengan nmenyatakan. Batas bawah sedikit ditingkatkan, namun buktinya agak panjang.
Makalah Kompleksitas Deskriptif dalam kasus unary oleh Pomerance et al menunjukkan ituG1(n)(c1ncatatann)n.
Proposisi 10 menunjukkan bahwa, untukk2 kita punya

n2(k-1)n2Gk(n)(2n-1)2kn2+1.
Buktinya cukup singkat, maka saya memasukkannya kata demi kata (kurang lebih). Untuk batas atas, perhatikan bahwa NFA dapat ditentukan dengan menentukan, untuk setiap pasangan(q,Sebuah) negara dan simbol, yang bagian dari Q sama dengan δ(q,Sebuah) (karenanya faktornya 2kn2. Kami dapat menetapkan status akhir sebagai berikut: apakah kondisi awal adalah final atau tidak, dan karena nama-nama negara tidak penting, kami dapat mengasumsikan status akhir yang tersisa adalah{1,...,k} untuk k[0 ..n-1]. Akhirnya, jika kami tidak memilih status akhir, kami memperoleh bahasa kosong.
Untuk batas bawah penulis melanjutkan dengan cara yang sama seperti pada bukti untuk kasus DFA: Tentukan NFAM.=(Q,Σ,δ,q0,F) dengan Σ={0,1,...,k-1}, Q={q0,...,qn-1} dan δ:
δ(qi,0)=q(i+1)modnfor 0i<nδ(qi,j)=hj(i)for 0i<n,1j<k
where hj:{1,,n1}2Q is any set-valued function. Finally, let F={qi} for any i[0..n1]. There are 2(k1)n2 such functions and n ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.