Masalah 10 Hilbert dan Persamaan Diaitantin Chaitin “Komputer”?

Dalam Chaitin Meta Math! The Quest For Omega , ia secara singkat berbicara tentang Masalah ke-10 Hilbert. Dia kemudian mengatakan bahwa Persamaan Diophantine dapat diubah menjadi dua polinomial yang sama dengan koefisien bilangan bulat positif: . $p=0$ $p=0 \iff p_1 = p_2$

Lalu dia berkata bahwa kita dapat memikirkan persamaan ini seperti "komputer":

Komputer Persamaan Diophantine : Program: , Output: , Waktu:
$L (k, n, x, y, z, . . .) = R (k, n, x, y, z, . . .)$ $L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Dengan sisi kiri , sisi kanan . Dia mengatakan adalah program dari komputer ini, yang menghasilkan . Dia juga mengatakan bahwa yang tidak diketahui adalah variabel waktu multi-dimensi . $L$ $R$ $k$ $n$

Yang membingungkan saya adalah bahwa ia kemudian mengatakan bahwa Masalah ke-10 Hilbert jelas tidak dapat diselesaikan jika dilihat dengan cara ini. Dia pada dasarnya mengatakan "karena Turing's Problem terputus-putus". Tetapi saya tidak melihat hubungannya (saya baru mulai mempelajari teorinya). Saya berharap seseorang bisa lebih jelas menjelaskan apa maksud Chaitin di sini.

Saya tahu bahwa Masalah Pemutusan Turing pada dasarnya menyatakan bahwa Anda tidak dapat memprediksi kapan suatu program akan berhenti sebelum benar-benar berhenti (diberikan waktu yang terbatas). Apa aplikasi untuk Masalah ke-10 Hilbert, menggunakan notasi yang ditetapkan oleh Chaitin?

logic halting-problem

— Menenangkan
sumber

Pertanyaan bagus. Sepertinya Anda mungkin perlu latar belakang tambahan tentang Masalah ke-10 Hilbert. Saya harap ini tidak berlebihan.

Masalahnya bertanya:

Apakah ada algoritma yang, diberi polinomial Diophantine, memutuskan apakah ada pengaturan variabel yang membuatnya sama dengan ? $0$

Ini diselesaikan pada tahun 70-an sebagai konsekuensi dari MRDP (juga disebut teorema Matiyasevich, jika Anda ingin mencari) yang menyatakan:

Define: Himpunan adalah Diophantine jika ada polinomial Diophantine pada input sehingga $D \subset \mathbb{N}$ $p$ $k+1$ . $D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Set Diophantine adalah tepat yang dikenali oleh mesin Turing.

$x$ $y \in \mathbb{R}_+^k$ $p(x, y)$ $p(x, y) = 0$

Bagaimanapun, bagaimana teorema MRDP menyelesaikan masalah ke-10 Hilbert? Baik...

$p(y)$ $y$ $p(y) = 0$

$M$ $x$ $p(y | x)$ $0$

$p(y) = 0$

— GMB
sumber