Menganalisis versi modifikasi dari permainan kartu "Perang"

Sebuah permainan sederhana yang biasanya dimainkan oleh anak-anak, permainan Perang dimainkan oleh dua orang menggunakan setumpuk standar 52 kartu remi. Awalnya, deck dikocok dan semua kartu dibagikan kepada dua pemain, sehingga masing-masing memiliki 26 kartu acak dalam urutan acak. Kami akan menganggap bahwa pemain diizinkan untuk memeriksa (tetapi tidak mengubah) kedua deck, sehingga setiap pemain mengetahui kartu dan pesanan kartu di kedua deck. Ini biasanya dicatat dilakukan dalam praktek, tetapi tidak akan mengubah apa pun tentang bagaimana permainan dimainkan, dan membantu menjaga versi pertanyaan ini sepenuhnya deterministik.

Kemudian, pemain mengungkapkan kartu paling atas dari deck masing-masing. Pemain yang mengungkapkan kartu yang lebih besar (sesuai dengan urutan yang biasa: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King, Ace) memenangkan putaran, menempatkan kartu terlebih dahulu ( kartu tinggi) di bagian bawah geladaknya, dan kemudian kartu lawannya (kartu rendah) di bagian bawah geladak (biasanya, urutan ini tidak ditegakkan, tetapi untuk menjaga versi pertama dari pertanyaan ini tetap deterministik, seperti pemesanan akan diberlakukan).

Dalam hal seri, setiap pemain mengungkapkan empat kartu tambahan dari atas geladak mereka. Jika kartu keempat yang diperlihatkan oleh satu pemain lebih tinggi dari kartu keempat yang diperlihatkan oleh pemain lain, pemain dengan kartu keempat yang lebih tinggi memenangkan semua kartu yang dimainkan selama tie-breaker, dalam hal ini kartu pemenang pertama-tama ditempatkan di bagian bawah kartu. kartu pemenang (dalam urutan masuk pertama, keluar pertama; dengan kata lain, kartu yang lebih tua ditempatkan di bagian bawah pertama), diikuti oleh kartu yang kalah (dalam urutan yang sama).

Jika terjadi ikatan berikutnya, proses diulangi sampai pemenang dasi ditentukan. Jika satu pemain kehabisan kartu dan tidak dapat terus melanggar dasi, pemain yang masih memiliki kartu dinyatakan sebagai pemenang. Jika kedua pemain kehabisan kartu untuk bermain pada saat yang sama, permainan dinyatakan seri.

Putaran dimainkan sampai satu pemain kehabisan kartu (yaitu, tidak memiliki kartu lagi di dek), di mana pemain yang masih memiliki kartu dinyatakan sebagai pemenang.

Seperti permainan yang telah dijelaskan sejauh ini, baik keterampilan maupun keberuntungan tidak terlibat dalam menentukan hasilnya. Karena ada jumlah permutasi yang terbatas dari 52 kartu, ada sejumlah cara yang terbatas di mana deck mungkin awalnya ditangani, dan karena itu (karena satu-satunya informasi negara dalam permainan adalah keadaan saat ini dari kedua deck pemain ' ) hasil dari setiap konfigurasi gim dapat ditentukan secara apriori. Tentu saja, adalah mungkin untuk memenangkan permainan Perang, dan dengan cara yang sama, kehilangannya. Kami juga membiarkan kemungkinan bahwa permainan Perang dapat menghasilkan Dasi atau loop tak terbatas; untuk versi sepenuhnya deterministik yang diuraikan di atas, mungkin demikian atau tidak mungkin demikian.

Beberapa variasi permainan yang mencoba membuatnya lebih menarik (dan tidak, tidak semua melibatkan membuatnya menjadi permainan minum). Salah satu cara yang saya pikirkan untuk membuat permainan lebih menarik adalah dengan memungkinkan pemain untuk menyatakan "truf" otomatis pada putaran tertentu. Di setiap babak, salah satu pemain (atau kedua pemain) dapat menyatakan "truf". Jika satu pemain menyatakan "truf", pemain itu memenangkan ronde terlepas dari kartu yang dimainkan. Jika kedua pemain menyatakan "truf", maka ronde diperlakukan sebagai dasi, dan permainan berlanjut sesuai.

Orang dapat membayangkan berbagai aturan yang membatasi kemampuan pemain untuk melakukan truf (trumping tanpa batas akan selalu menghasilkan permainan Tie, karena pemain akan melakukan truf setiap belokan). Saya mengusulkan dua versi (mungkin di bagian atas kepala saya; versi yang lebih menarik di sepanjang garis-garis ini dimungkinkan) dari Perang berdasarkan ide ini tetapi menggunakan mekanisme pembatasan truf yang berbeda:

1. $k$
2. $k$

Sekarang untuk pertanyaan, yang berlaku untuk masing-masing versi yang dijelaskan di atas:

1. Apakah ada strategi sedemikian rupa sehingga, untuk beberapa set konfigurasi gim awal yang mungkin, pemain yang menggunakannya selalu menang (strategi yang menang sangat)? Jika demikian, apa strategi ini? Jika tidak, mengapa tidak?
2. Apakah ada strategi sedemikian rupa sehingga, untuk beberapa set konfigurasi gim awal yang mungkin, pemain yang menggunakannya selalu dapat menang atau memaksa seri (strategi kemenangan)? Jika demikian, apa strategi ini? Jika tidak, mengapa tidak?
3. Apakah konfigurasi permainan awal mereka sedemikian rupa sehingga tidak ada strategi kemenangan (yaitu, pemain yang menggunakan strategi tetap selalu dapat dikalahkan oleh pemain yang menggunakan strategi tetap )? Jika demikian, apakah mereka, dan jelaskan?$S$$S'$

Untuk lebih jelasnya, saya memikirkan "strategi" sebagai algoritma tetap yang menentukan pada putaran apa pemain harus menggunakan strategi. Sebagai contoh, algoritma "truf kapan saja Anda bisa" adalah sebuah strategi, dan sebuah algoritma (algoritma heuristik). Cara lain dari apa yang saya tanyakan adalah ini:

Adakah heuristik yang bagus (atau terbukti optimal) untuk memainkan game-game ini?

$k$$k=0$

Jika saya mengerti benar, semua informasi tentang permainan tersedia untuk kedua pemain. Artinya, konfigurasi awal dan semua gerakan yang mungkin diketahui oleh kedua pemain (terutama karena kedua pemain dapat melihat kartu dari pemain lain). Ini membuat game adalah game zero-sum informasi sempurna. Dengan demikian ada strategi sempurna yang tersedia untuk kedua pemain yang akan mencapai hasil terbaik di setiap permainan untuk pemain itu. Ini dibuktikan pada tahun 1912 oleh ahli matematika Jerman Ernst Zermelo.

Saya tidak tahu apa strateginya, tetapi orang bisa membayangkan membangun pohon permainan besar untuk itu dan mendapatkan komputer untuk menemukan strategi untuk saya menggunakan algoritma min-max .

Pohon untuk setiap permainan akan memiliki sebagai root tangan kedua pemain. Cabang-cabang di pohon sesuai dengan gerakan pemain. Dalam kasus yang paling sederhana, ini terdiri dari hanya meletakkan kartu yang diperlukan. Dalam kasus yang lebih maju, gerakan 'truf' dapat dilakukan. Node internal pohon merekam konfigurasi kartu saat ini beserta informasi apa pun tentang status 'truf'. Daun pohon sesuai dengan posisi akhir permainan, yang akan dilabeli dengan, katakanlah, +1 untuk kemenangan untuk Pemain 1, 0 untuk dasi, dan -1 untuk kemenangan untuk Pemain 2. Abaikan perulangan game untuk saat ini.

Sekarang algoritma min-max akan berfungsi sebagai berikut (dari perspektif Player 1). Asumsikan bahwa ia terlihat pada simpul di mana Player 1 bergerak dan bahwa simpul di bawah ini diberi catatan dengan +1, 0, atau -1 ( imbalannya) bersama dengan pilihan yang dibutuhkan pemain untuk mendapatkan hasil yang diberikan. Pemain 1 hanya memilih node dengan hadiah terbesar, mencatat hadiah itu dan pilihan yang diperlukan untuk mendapatkannya. Untuk simpul tempat Player 2 bergerak, simpul dengan hasil minimum dipilih, dan pilihan dicatat. Ini mencerminkan bahwa Player 2 mengincar skor terendah untuk menang. Ini disebarkan ke pohon. Pilihan yang direkam pada setiap node berhubungan dengan strategi terbaik yang dapat dilakukan pemain. Hasil akhir menentukan siapa yang menang. Ini pada akhirnya adalah fungsi dari hasil, meskipun pilihan gerakan yang tepat dapat bervariasi.

Konfigurasi pengulangan yang berpotensi dapat dimasukkan ke dalam pohon permainan dengan hanya menambahkan loop yang kembali ke konfigurasi yang sudah terlihat (saat menghitung dari atas). Untuk node seperti itu, Anda mengambil titik tetap terbaik jika itu adalah simpul di mana Player 1 bermain dan titik paling tidak tetap ketika Player 2 bermain.

Perhatikan bahwa jika Anda tidak membuat asumsi bahwa kedua pemain dapat memeriksa kedua deck, maka pendekatan ini tidak akan berlaku. Game kemudian akan melibatkan peluang dan strategi yang dipilih akan spesifik game.

Ada atau tidaknya strategi kemenangan yang kuat atau lemah untuk salah satu pemain tergantung pada hasil dari algoritma min-max yang diterapkan untuk semua pohon. Tapi pasti ada banyak dari mereka .... Menghitung pohon untuk satu mungkin cukup mudah, karena tidak banyak pilihan yang dibuat melalui permainan.