Apakah ada hubungan antara masalah penghentian dan entropi termodinamika?


31

Alan Turing mengusulkan model untuk mesin (Turing Machine, TM) yang menghitung (angka, fungsi, dll.) Dan membuktikan Teorema Henti .

TM adalah konsep abstrak dari mesin (atau mesin jika Anda suka). Teorema Penghentian adalah hasil ketidakmungkinan. Mesin Carnot (CE) adalah konsep abstrak dari mesin panas dan Carnot membuktikan Teorema Carnot , hasil ketidakmungkinan lain yang terkait dengan entropi termodinamika.

Mengingat bahwa TM secara fisik dapat direalisasikan (setidaknya sebanyak CE, atau mungkin tidak?) Adakah pemetaan atau representasi atau "isomorfisme" dari TM atau CE yang dapat memungkinkan untuk menyatukan hasil ini dan di samping terhubung ke entropi?

Tentu saja ada formulasi TM dan Teorema Halting dalam hal teori informasi algoritmik (misalnya Chaitin, Kolmogorov, dll.) Dan entropi (dalam konteks itu). Pertanyaannya menanyakan konsep entropi yang lebih fisik (jika dalam proses jawaban potensial, entropi algoritme muncul, itu baik-baik saja, tetapi bukan pertanyaan persisnya yang ditanyakan).

Seseorang juga dapat memeriksa pertanyaan lain dalam fisika. See yang menghubungkan ketidakpastian kuantum dengan hukum ke-2 termodinamika. Lihat juga: karakterisasi entropi aljabar , karakterisasi algoritme entropi , ulasan dan koneksi antara berbagai formulasi entropi


1
ada satu pengertian di mana konsep-konsep yang digambarkan persis berlawanan . theormodynamics law tentang bangkitnya entropi mengesampingkan mesin gerak abadi . mesin nonhalting adalah mesin gerak abadi .
vzn

ya saya lihat, casting ulang kondisi tidak-berhenti sebagai ponsel abadi (dari jenis ke-2?), ini persis dalam semangat pertanyaan, tetapi apakah ini yang dikatakan teorema penghentian? Ini menyatakan kita tidak tahu apakah itu berhenti atau tidak, karena "bundar", baik
Nikos M.

Proposal untuk menambahkan "termodinamika" dan / atau "perhitungan termodinamika" sebagai tag baru di CS.se? saya tidak yakin apakah saya bisa melakukannya sendiri (mungkin), tetapi mari kita dengarkan pendapat lain
Nikos M.

Jawaban:


11

Saya sama sekali tidak ahli dalam bidang ini, tetapi saya yakin Anda akan tertarik pada komputasi reversibel . Ini melibatkan, antara lain, studi tentang hubungan antara proses yang secara fisik dapat dibalik dan proses yang secara logis dapat dibalik. Saya pikir akan adil untuk mengatakan bahwa "pendiri" bidang itu adalah / adalah Ralph Landauer dan Charles H Bennett (keduanya dari riset IBM, saya pikir.)

Ini menyentuh komputasi kuantum dan teori informasi kuantum, tetapi juga memeriksa pertanyaan seperti "apa batas perhitungan dalam hal waktu, ruang dan energi?" Diketahui, (jika saya ingat dengan benar) bahwa Anda dapat membuat energi yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan yang dapat dibalik secara sewenang-wenang dengan membuatnya memakan waktu lama secara sewenang-wenang. Artinya, energi waktu (= tindakan ) yang diperlukan untuk melakukan perhitungan yang dapat dibalik dapat dibuat konstan. Ini bukan kasus untuk perhitungan non-reversibel.×

Banyak orang yang belajar di bidang ini juga bekerja pada komputasi kuantum dan fisika awal (gagasan bahwa alam semesta adalah automata seluler kuantum besar). Nama-nama peneliti yang muncul di benak adalah Ed Fredkin , Tommaso Toffoli dan Norm Margolus .

Pertanyaan-pertanyaan ini benar - benar tentang topik untuk ilmu komputer. Bukan hanya untuk teori (yang meliputi matematika keren dan juga fisika keren) tetapi untuk insinyur yang ingin mengetahui batas akhir perhitungan. Apakah ada volume minimum atau energi yang diperlukan untuk menyimpan sedikit informasi? The tindakan yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan reversibel mungkin konstan, tetapi ada batas pada apa yang konstan? Ini adalah pengetahuan kritis bagi para insinyur yang berusaha mendorong batas-batas apa yang mungkin.


Ya ada kaitannya dengan Termodinamika Komputasi (Bennett, Landauer et al.), Tetapi lebih banyak bertanya terkait dengan Teorema Penghentian, dan / atau pemetaan antara TM dan CE (seperti dalam pertanyaan), tetapi jawaban yang bagus
Nikos M.

1
Ah kamu benar Saya menurunkan jawaban saya. Komentar di bawah pertanyaan Anda mengatakan bahwa itu di luar topik membuat saya terlihat merah, dan saya terutama meresponsnya. Untuk menjawab pertanyaan Anda yang sesungguhnya: lihat Tesis Gereja-Turing. Dengan asumsi Anda percaya itu dan juga bahwa matematika dapat memodelkan apa pun di alam maka Masalah Henti adalah teorema ketidakmungkinan fisik.
Logika Pengembaraan

saya pikir tesis Gereja-Turing bahwa perhitungan fisik adalah perhitungan yang efektif mungkin memang perlu, lihatlah makalah ini juga
Nikos M.

5

Saya tidak familier dengan Teorema Carnot, kecuali apa yang baru saja saya baca di Wikipedia, tetapi bahkan dari pengantar sepintas itu, ada hubungan dalam struktur buktinya, dan itu mungkin menarik bagi Anda, karena itu adalah teknik pembuktian yang berlaku di banyak domain.

Keduanya adalah bukti berdasarkan kontradiksi yang menunjukkan bahwa tidak ada sesuatu di kelas tertentu yang memiliki properti, Anda mengira bahwa beberapa instance benar-benar memiliki properti itu, dan kemudian menunjukkan bahwa kontradiksi mengikuti.

Masalah Pemutusan menarik karena kontradiksi muncul dari beberapa interaksi diri mengenai contoh tertentu (yang merupakan mesin M yang dapat menentukan apakah mesin sewenang-wenang akan berhenti dengan input yang diberikan). Secara khusus, Anda membangun mesin baru yang menyertakan M sebagai komponen, dan kemudian memberi makan mesin baru ke M.

Seseorang dengan pengetahuan lebih banyak tentang Teorema Carnot dapat menguraikannya (yang saya tidak memenuhi syarat untuk melakukannya), tetapi tampaknya kontradiksi muncul dari jenis mesin panas yang dapat Anda bangun jika Anda memiliki instance dengan properti yang ada.

Jadi kedua kasus melibatkan pembangunan:

  • Misalkan beberapa X memiliki properti P.
    • Dari X, build terkait Y.
    • Hubungan antara X dan Y saling bertentangan.
  • Oleh karena itu, tidak ada X yang memiliki properti P.

Namun, tampaknya ada perbedaan, dalam hal kontradiksi dalam teorema Halting adalah kontradiksi logis murni, dan akan kontradiktif dalam setiap pengaturan logika klasik. Teorema Carnot, seperti yang saya mengerti, hanya bertentangan dengan hukum kedua termodinamika. Dari perspektif logis, itu aksioma, jadi jika Anda mengambil aksioma yang berbeda di mana hukum termodinamika kedua tidak berlaku, Teorema Carnot tidak akan menjadi teorema, karena kontradiksi tidak akan ada. (Seperti apa bentuk formalisasi termodinamika tanpa hukum kedua adalah jenis pertanyaan yang mengarahkan geometer ke geometri non-Euclidean.)


makalah ini memberikan banyak ke arah yang Anda sebutkan, imo. Yang menurut saya juga sangat relevan adalah sirkularitas (atau diagonalisasi) argumen. Ada arah penelitian yang menghubungkan transformasi logis ireversibel dengan proses termodinamika ireversibel (misalnya Prinsip Landauers, dan keberatannya). Ada yang keberatan dengan beberapa pernyataan dari Hukum ke-2 tetapi orang dapat menemukan formulasi yang masih berlaku (mis. Karya Prigogine)
Nikos M.

Untuk bagaimana hubungan ini dapat terjadi, lihat juga komentar pada jawaban sebelumnya (hanya untuk tujuan yang masuk akal)
Nikos M.

Mengenai formulasi lain dari Hukum ke-2 (bahkan yang lebih umum dan untuk proses non-keseimbangan) Anda dapat memeriksa pernyataan Caratheodory dalam hal Ruang Fasa dan Geometri, Pekerjaan Prigogin tentang sistem non-ekuilibrium dan formulasi Hatzopoulos-Gyftopoulos-Beretta (dengan koneksi lebih lanjut ke mekanika kuantum)
Nikos M.

Dalam arti ada begitu banyak aspek entropi karena ada aspek Goedel teorema (s) (seperti dalam teorema menghentikan Turing, Tarski undefinability teorema , teorema Rosser ini , Chaitin ini ketidaklengkapan teorema ), bahkan ada bukti kategori-teori dari "umum Teorema Goedel "mencakup semua yang sebelumnya yang didasarkan pada poin tetap
Nikos M.

Bahkan jika hubungan antara menghentikan masalah dan entropi termodinamika dicapai dalam bentuk jika dan ketika Hukum 2md berlaku maka ... , itu masih sama baiknya dengan pertanyaan ini (terkait dengan keberatan bahwa Hukum ke-2 mungkin seperti Dalil ke-5 sejajar dalam geometri euclidean)
Nikos M.

4

Saya seorang ahli fisika tetapi saya tidak melihat adanya koneksi. Mesin Turing adalah objek matematika murni dan ketidakpastian masalah berhenti tidak tergantung pada realisasi fisik apa pun.


Hasil Hukum 2 Kemungkinan tidak memiliki banyak kesamaan dengan (matematis) masalah logika dan sirkularitas, mungkin koneksi di sana?
Nikos M.

1
Anda harus memberikan lebih banyak detail: seperti yang saya katakan, saya bukan seorang fisikawan. Tetapi saya tidak melihat bagaimana hukum fisik dapat berdampak pada konstruksi yang ada terlepas dari kenyataan fisik.
David Richerby

Anda ada benarnya, saya dapat memberikan banyak alasan epistemologis mengapa ini sangat masuk akal (misalnya matematika yang kita bergantung pada dunia yang kita jalani , a-la Einstein), tetapi saya ingin sth lebih dari itu, jika saya punya jawaban yang siap saya mungkin akan menerbitkan makalah :)
Nikos M.

2
@vzn Kami menggunakan kata "waktu" untuk jumlah langkah yang telah dieksekusi mesin dan "ruang" untuk jumlah sel kaset yang telah digunakan tetapi kata-kata itu dipilih untuk menarik intuisi fisik kita sebagai makhluk fisik. Tetapi "waktu" hanyalah indeks ke dalam urutan konfigurasi dan ruang hanyalah indeks ke dalam urutan simbol. Misalnya, pertimbangkan mesin Turing di mana kepala mendesis ke kanan. Ini menggunakan "waktu" tanpa batas dan "ruang" tanpa batas tetapi Anda dapat mengetahuinya dalam jumlah waktu nyata dan ruang nyata yang terbatas
David Richerby

2
Tentu, tetapi fakta bahwa kami menganggap mesin Turing sebagai objek yang menarik mungkin ada hubungannya dengan fisika.
Gilles 'SO- stop being evil'

1

pertanyaan beragam-topik beragam unf ini tidak memiliki jawaban / sentuhan sederhana / mudah pada bidang-bidang aktif penelitian TCS. namun itu adalah pertanyaan langka yang menanyakan tentang hubungan antara fisika & TCS yang telah menarik minat saya selama ini. ada beberapa arah berbeda untuk melanjutkan ini. jawaban dasarnya adalah "pertanyaan terbuka" tetapi dengan beberapa penelitian aktif / modern menyentuhnya dan mengisyaratkan koneksi.

  • ada beberapa masalah mengejutkan / mendalam yang belum diputuskan dari fisika maju. misalnya dari sistem dinamik. Namun, belum melihat ini terhubung ke entropi per se, tetapi entropi dikaitkan dengan semua sistem fisik (misalnya orang dapat melihat ini dalam teori kimia), jadi setidaknya harus ada hubungan tidak langsung.

  • entropi memang muncul di CS tetapi lebih dalam bentuk teori informasi dan teori pengkodean. kelahiran teori pengkodean melibatkan definisi / analisis entropi yang terkait dengan kode komunikasi oleh Shannon. coba teori online Entropy & Informasi ref yang bagus ini oleh Gray

  • entropi juga dikaitkan kadang-kadang dikaitkan dengan mengukur keacakan dalam PRNG. ada koneksi pemisahan kelas kompleksitas (misalnya P =? NP) ke PRNGs dalam makalah "Bukti Alami" yang terkenal oleh Razborov / Rudich. ada penelitian berkelanjutan tentang subjek ini.

  • Anda menyebutkan termodinamika dan hubungannya dengan TCS. ada hubungan yang mendalam antara magnetisasi dalam gelas spin dalam fisika dan masalah lengkap NP yang dipelajari pada titik transisi SAT. di sana (lagi) sistem fisik memiliki entropi yang terkait dengannya tetapi mungkin telah dipelajari lebih banyak dalam konteks fisika daripada konteks TCS.


dapat memperluas beberapa ini panjang lebar di Computer Science Chat
vzn

lihat juga CS defn dari stackoverflow entropi
vzn

Sangat menarik untuk dapat berpikir "di luar kotak" (paling tidak kadang-kadang), sudahkah Anda melihat karya Bennet tentang Termodinamika Komputasi? Motivasi di balik pertanyaan ini adalah untuk menunjukkan apakah teorema penghentian dapat dilihat sebagai konsekuensi dari termodinamika (dengan beberapa model atau representasi yang tepat setidaknya untuk beberapa kasus). Saya pikir akan sangat menarik jika ini dapat diselesaikan dengan cara apa pun
Nikos M.


Sebagian besar konsep "entropi" seperti yang digunakan dalam ilmu komputer entah berhubungan dengan Teori Informasi Shannon atau dengan Teori Informasi Algoritme Kolmogorov / Chaitin / Solomonov, ini sudah disebutkan dalam pertanyaan dan itu sangat penting. Satu-satunya koneksi ke entropi termodinamika yang saya ketahui (yang dapat dikaitkan dengan inf. Entropi) adalah termodinamika perhitungan. Pertanyaannya terkait dengan termodinamika perhitungan tetapi dengan cara lain
Nikos M.

1

Ada masalah pemikiran sederhana yang kadang-kadang digunakan sebagai pengantar paradigma komputasi non-konvensional:

Anda memiliki dua bola lampu dan sakelar on-off masing-masing. Seseorang membuka dan menutup kedua lampu satu demi satu. Bagaimana Anda menentukan yang mana yang ditutup terlebih dahulu dan mana yang ditutup terakhir? Tentukan jumlah minimum yang Anda perlukan untuk membuka lampu untuk memutuskan masalah ini.

Sebagian besar ilmuwan komputer biasanya mencoba menemukan beberapa solusi berbasis logika boolean. Jawabannya adalah (setidaknya salah satunya): dengan menyentuh bola lampu dan melihat mana yang lebih panas.

Paradigma berbasis panas ada dalam ilmu komputer: simulated annealing adalah algoritma yang dikenal (komputer kuantum D-gelombang adalah mitra kuantum dari algoritma).

Sekarang apakah ada hubungannya dengan masalah Hentikan?

Karya klasik Chaitin dan Calude tentang masalah Halting melalui konsep bilangan Omega dapat dihubungkan dengan formulasi probabilistik dari masalah Halting. Ini adalah risalah yang lebih baru tentang masalah yang dapat saya pikirkan ... dan tidak ada hubungan yang jelas dengan entropi (termodinamika). Sekarang jika entropi informasi (dalam arti Shannon) baik untuk Anda, angka Omega mengkodekan dengan cara yang paling ringkas masalah Menghentikan, dalam arti terikat Shannon.

Singkatnya, angka Omega adalah probabilitas bahwa program acak berhenti. Mengetahui konstanta akan memungkinkan enumerasi semua pernyataan matematika yang valid (kebenaran, aksioma, dll) dan tidak dapat dihitung. Calude menghitung versi Omega dengan mengubah ukuran probabilitas seragam dengan ukuran berbanding terbalik dengan panjang program acak dan dengan menggunakan pengkodean bebas awalan. Jadi kita bisa berbicara tentang Omega Chaitin dan Omega Calude.


Jawaban yang bagus, bagian yang terkait dengan panas bola lampu digunakan berkali-kali sebagai penghubung antara entropi informasi dan entropi termodinamika (adalah perasaan yang bertentangan dengan pandangan Jaynes sebagai ketidakpastian subjektif). garis pemikiran saya sendiri adalah untuk mendasarkan alasan pada sirkularitas kedua konstruksi dan oleh kaskade (pintar?) dengan yang lain menciptakan implikasi (setidaknya dalam satu cara)
Nikos M.

Alasan yang sama digunakan dengan baterai (bukan bola lampu) untuk menentukan baterai mana yang habis ...
Nikos M.

0

Ya !, anehnya saya sudah memikirkan hal ini .. Inilah idenya:

Langkah pertama

Model the Maxwell's Demon sebagai program komputer. Lalu, Bagaimana Iblis mengetahui kecepatan dan posisi partikel sebelum membuka pintu untuk seleksi?

Misalkan iblis itu tidak bisa mengukur kecepatan partikel yang menghantam pintu, mengapa? karena itu akan mengubah kecepatan partikel, jadi iblis harus mencari tahu sebelum membukanya, tanpa melihat, tanpa mengukur. Agar adil, kami akan membiarkan iblis mengetahui aturan permainan di muka, yaitu memberi makan iblis dengan hukum gerak, interaksi partikel, dan kondisi awal, cukup dengan model fisika / dinamis.

Tahap kedua

Sekarang memodelkan gas partikel juga sebagai program komputer yang menjalankan kode yang sama yang diberikan kepada setan untuk setiap partikel, sehingga gas menghitung hasil dari kondisi awalnya, Setan tidak tahu hasil itu sampai berhenti (jika pernah ): yaitu "partikel dengan kecepatan yang tepat ada di pintu", keputusan ya / tidak pertanyaan yang kita tanyakan ke sistem adalah "Apakah partikel memiliki posisi yang tepat dan kecepatan yang cukup?", jika demikian, pintu dapat dibuka dan partikel cepat dapat masuk ke sisi suhu tinggi ruangan menetapkan kondisi awal baru (akankah masalah berturut-turut itu memiliki jawaban? atau akan berjalan selamanya?)

Akan ada waktu ketika tidak ada partikel dengan kecepatan yang cukup untuk melewati batas, jadi, akan ada waktu ketika kode akan berjalan selamanya (jangan berhenti) untuk hampir semua ambang batas yang diberikan.

Setan ingin mengetahui hasil yang dihitung oleh gas, tetapi hasilnya dalam arti tertentu berpotensi terlibat dalam kode sumber hukum partikel ditambah kondisi awal .. tentu saja kita perlu menjalankan program itu untuk mengetahuinya. Jika Demon menjalankan program yang sama menunggu kecepatan yang tepat pada output, program tersebut dapat berhenti atau bisa berjalan selamanya (tapi kami juga mengira iblis tidak memiliki kekuatan komputasi lebih dari gas, sehingga tidak akan dapat memutuskan pintu terbuka tepat waktu).

Daemon dapat mencoba mencari tahu output program (atau jika itu akan berhenti) dengan menonton sumber dan input tanpa menjalankannya tetapi itu seperti mencoba untuk memecahkan Masalah Pemutusan, mengapa? karena Iblis tidak tahu apa hukum dan kondisi awal akan memberi makan sehingga Iblis harus siap untuk memecahkan setiap set hukum dan kondisi awal, dan kami tahu itu tidak mungkin secara umum, itu akan membutuhkan oracle, jika bisa itu akan cukup untuk membangun iblis untuk menghasilkan energi dari ketiadaan. (Bahkan mengetahui hukum dan kondisi awal, kedua hal itu sudah cukup sulit untuk diketahui)

Eksperimen pemikiran ini dapat menghubungkan bagaimana pengurangan entropi, melalui komputer, dapat dengan cara tertentu dibatasi oleh Halting Problem , sebagai masalah untuk mengantisipasi hasil secara umum.

(Kadang-kadang semua batas tampaknya menjadi batas yang sama ..)

Lebih lanjut tentang Hukum Partikel

Hukum partikel bukanlah masalah utama dari eksperimen pemikiran ini, hukum-hukum itu bisa kuantum atau klasik, tetapi kita harus memperhitungkan fakta kompleksitas hukum dan kondisi awal, kompleksitas susunan partikel tidak dibatasi, dan itu bisa memiliki banyak kompleksitas tambahan (dalam contoh ekstrim kondisi awal Anda bahkan dapat memasukkan seluruh partikel yang ditembakkan komputer sesuai dengan kode sumber internal dan memberikan kode tersebut ke daemon).


1
Saya tidak mengerti tautan ke masalah penghentian. Pertama, Anda tampaknya telah mendefinisikan ulang apa artinya bagi mesin untuk berhenti. Kedua, Anda tampaknya hanya memiliki satu program (simulator partikel gas). Sangat mungkin untuk membuktikan bahwa satu program tetap tidak atau tidak berhenti, tanpa melanggar ketidakpastian masalah penghentian umum .
David Richerby

Tentang berhenti, itu tidak mendefinisikan kembali berhenti, di sini program berhenti, seperti biasa, ketika program berakhir komputasi dan Anda mendapatkan output, jadi di sini output didefinisikan sebagai momen yang tepat bahwa partikel dengan kecepatan yang tepat menghantam pintu , dan Anda dapat membangun pintu yang mendeteksi itu, sehingga itu akan menandai ketika program berhenti (kemudian program berjalan kembali dari kondisi awal ini untuk output lain). Daemon ingin tahu kapan itu akan berhenti, tetapi ia tidak bisa tahu bahkan jika itu akan berhenti.
Hernan_eche

1
Mesin Turing tidak dapat memutuskan masalah penghentian untuk mesin Turing. Tampaknya Anda telah mendefinisikan kembali masalah penghentian sebagai, "Apakah salah satu molekul gas ini pernah melakukan X?", Yang merupakan masalah yang sama sekali berbeda dari "Apakah mesin Turing ini berhenti ketika mulai dengan input ini?" Bukti Turing tentang ketidakpastian mesin Turing menghentikan masalah tidak mengatakan apa-apa tentang apakah mesin Turing dapat menghitung apakah beberapa molekul gas akan pernah melakukan X.
David Richerby

Komentar David benar, karena, tidak terkait langsung dengan masalah penghentian. Namun itu adalah argumen yang mengikuti semangat pertanyaan
Nikos M.

1
@Gilles, terima kasih telah memperhatikan itu, saya setuju dengan itu, jika diperlukan obrolan akan dibuat. Saya lebih suka jika komentar-komentar ini dibiarkan karena mereka berhubungan baik dengan pertanyaan dan jawaban spesifik (sebagaimana berevolusi)
Nikos M.

-1

Pertanyaan yang sangat menawan, dan kami akan melihat bahwa pemikiran Anda benar .

Pertama mari kita lihat apa kata prinsip termodinamika kedua.

Fungsi entropi digunakan dalam hukum ke-2 termodinamika. Ini berasal dari teorema Carnot yang menyatakan bahwa proses yang terjadi di mesin uap memiliki efisiensi lebih rendah atau paling tidak sama dengan mesin "reversibel" yang sesuai (yang omong-omong seperti konsep yang tidak stabil selama 150 tahun termodinamika). Carnot tidak membuat koin fungsi entropi sendiri, tetapi bersama dengan Clausius inilah yang mereka katakan:

Karena tidak ada mesin perpetuum, maka kita dapat membangun fungsi S yang disebut entropi yang membatasi ukuran termodinamika makroskopik ke dalam persamaan tertentu, yaitu S (V, T, P, dll.) = 0

Perhatikan bahwa persamaan ini tidak lain adalah persamaan permukaan-hiper dalam ruang langkah-langkah termodinamika.

Memasuki Carathéodory.

Carathéodory adalah ahli matematika Jerman dan seperti semua ahli matematika lainnya, ia ingin mengekstraksi Carnot's dan Clausius dengan alasan beberapa aksioma yang akan memungkinkannya untuk menjelaskan apa sebenarnya hukum kedua itu. Terus terang dia ingin memurnikan termodinamika untuk mengetahui apa itu entropi.

Setelah mendaftarkan sejumlah aksioma, ia berhasil merumuskan hukum kedua HIS, yang mengatakan (kurang lebih):

ADA beberapa proses adiabatik. Atau lebih tepatnya, jika Anda ingin kembali, kadang-kadang bekerja sendiri tidak cukup. Anda perlu sedikit panas.

Sekarang sepertinya SANGAT berbeda dari formulasi Clausius! Tapi ternyata tidak. Yang dilakukan Carathéodory hanyalah mengubah urutan kata-kata, agak seperti ahli matematika yang bermain dengan aksioma ke-5 Euclide selama 2.000 tahun dan menghasilkan banyak kata yang berbeda untuk aksioma itu. Dan jika Anda mundur selangkah, Anda seharusnya tidak terlalu terkejut dengan pernyataan Carathéodory tentang hukum kedua. Faktanya, Carathéodory mengarah ke fungsi entropi yang sama dan persamaan hyper-surface S (V, T, P, dll.) = 0

Berpikir keras pada teorema Carnot. Sebagai ahli matematika, Anda tidak boleh terlalu puas dengan cara Carnot mengakui mesin perpetuum tidak ada. Bahkan, sebagai ahli matematika Anda lebih suka melihat sesuatu seperti ini:

Ada fungsi entropi S yang membatasi ukuran makroskopik JIKA DAN HANYA JIKA tidak ada mesin perpetuum ".

SEKARANG Anda memiliki teorema. Dan apa isinya? Bahwa selama tidak ada sistem mekanis terisolasi yang menghasilkan energi dalam jumlah tak terbatas dan karenanya dapat mengarahkan Anda ke keadaan apa pun yang Anda inginkan, maka Anda akan menemukan fungsi entropi. Sistem mekanik yang terisolasi adalah proses adiabatik. Karenanya, perumusan Carathéodory: tidak ada sistem adiabatik yang dapat menuntun Anda ke mana pun. Terkadang Anda membutuhkan panas.

Jadi tidak hanya kami yakin bahwa Carathéodory sudah benar, tetapi juga bahwa formulasinya cukup sederhana.

Sekarang dari mana Anda mendapatkan kesan bahwa hukum kedua à la Carathéodory mirip dengan masalah penghentian?

Ambil langkah mundur ke pernyataan Carathéodory. Yang dikatakannya adalah bahwa sekali Anda memiliki sistem mekanis terisolasi yang Anda hentikan berbaur, Anda tidak dapat mencapai kondisi apa pun yang Anda inginkan.

Bukankah itu kedengarannya seperti masalah terputus-putus? Yaitu begitu Anda telah menulis semua aksioma teori Anda dan meletakkan semua transisi yang mungkin, akan ada masalah yang tidak dapat Anda pecahkan. Terkadang, Anda perlu menambahkan lebih banyak aksioma.

Bahkan jika Anda ingin masuk sangat dalam dan menyandikan formulasi Carathéodory, ini akan menghasilkan kode yang sama dengan masalah penghentian dengan proses adiabatik alih-alih mesin Turing, dan menyatakan alih-alih masalah.

Apa yang kamu pikirkan?

CATATAN: Saya mengedit jawaban saya hampir seluruhnya sehingga komentar di bawah tidak akan sesuai dengan apa yang ada di dalamnya sekarang.


1
"Rice menyatakan bahwa tidak ada mesin Turing yang dapat menghasilkan properti non-sepele tanpa batas waktu." Itu bukan parafrase dari Rice yang saya kenal. Apa maksudmu?
David Richerby

1
Apa yang Anda maksud dengan "menghasilkan properti yang tidak sepele"?
David Richerby

Sedikit bengkok. Rice mengatakan bahwa tidak dapat dibuktikan bahwa TM mengimplementasikan fungsi yang diberikan. Sekarang jika TM A menghasilkan properti non-trivial (N-TP) tanpa batas yang berarti itu menghasilkan N-TP untuk entri APA PUN. Bagaimana itu bisa benar dalam praktik? Yah sepertinya satu-satunya cara untuk itu benar adalah dengan mempertimbangkan entri yang tidak ditentukan dan menunjukkan bahwa A (e) -nya memiliki N-TP. Pada gilirannya itu berarti bahwa kami akan berhasil MEMBUKTIKAN bahwa mesin menghasilkan N-TP. Dan kita tahu itu tidak mungkin. Jadi pada dasarnya saya mendalilkan bahwa itu setara dengan mengatakan "A menghasilkan N-TP tanpa batas" dan "Saya BISA MENUNJUKKAN bahwa A menghasilkan N-TP"
Jerome

"Secara tak terbatas menghasilkan properti non-sepele" berarti bahwa Anda dapat melempar entri berbeda dalam jumlah tak terbatas ke TM. Dan semua output akan memiliki NT-P
Jerome

1
BAIK. Saya pikir jawaban Anda akan jauh lebih jelas jika Anda hanya menggunakan istilah standar, daripada menciptakan hal-hal seperti "menghasilkan properti non-sepele" berarti "dapat memproses input dengan jumlah tak terbatas." Ini juga akan membantu menjelaskan aspek apa dari mesin Turing "asli" Anda yang tidak dapat memproses input dengan jumlah tak terbatas. Apakah rekaman itu terbatas, misalnya?
David Richerby
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.