Apakah fungsi Boolean Turing lengkap

9

Fungsi Boolean adalah fungsi . $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

Boolean basis dikenal sebagai Turing selesai karena memungkinkan urutan dibalik atau dibiarkan tidak berubah. Hal yang sama dapat dikatakan untuk gerbang $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

Dalam pengertian ini kita dapat mulai dengan konfigurasi mesin awal sedemikian rupa sehingga dan dengan nilai-nilai berturut-turut : $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Setiap state akan mewakili permutasi dari beberapa elemen dalam . Proses ini secara efektif meniru mesin Turing dan mengasumsikan bahwa ada beberapa generator untuk nilai . $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

Jadi bisakah kita mengatakan bahwa fungsi Boolean Turing lengkap?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— pengguna13675
sumber

1

Bagaimana mesin ini bisa terjebak dalam infinite loop?

— Guildenstern

v_{i}

$\textbf{v}_i$

8

Secara informal, bahasa (pemrograman) Turing lengkap jika setiap fungsi yang dapat dikomputasi memiliki representasi. Fungsi komputasi umum menerima input ukuran sewenang-wenang. Fungsi Boolean, di sisi lain, menerima input dengan ukuran tetap. Karenanya fungsi Boolean bahkan tidak memenuhi syarat sebagai berpotensi Turing-lengkap.

$k$ $k$ $x_1,\ldots,x_n$ $n \geq 1$ $\{\lnot,\lor,\land\}$ $\{\lnot,\Rightarrow\}$ $\{\lnot,\oplus\}$ tidak lengkap: hanya bisa mengekspresikan fungsi linear.

— Yuval Filmus
sumber

Akankah rekan mereka, sirkuit boolean, menjadi Turing lengkap? Saya menduga mereka sejak Cook (dalam buktinya NP-kelengkapan 3SAT) menunjukkan bagaimana mesin Turing dan sirkuit boolean setara?

— user13675

@ user13675 Tidak, ini masalah yang persis sama. Setiap mesin Turing yang berhenti dapat dikonversi menjadi sirkuit atau formula Boolean yang setara untuk setiap ukuran input, tetapi untuk setiap ukuran Anda akan membutuhkan yang berbeda.

— Yuval Filmus

5

secara tegas ketika YF telah menjawab, sirkuit yang terbatas tidak dapat Turing lengkap.

Namun ada baiknya menyebutkan petunjuk dalam menanggapi pertanyaan ini (dan mungkin apa yang Anda cari) konsep yang terkait erat digunakan secara luas dalam teori di mana sirkuit digunakan untuk menghitung fungsi dengan cara yang lebih kuat daripada Turing lengkap.

$n$ $C_n$

— vzn
sumber