Teorema ketidaklengkapan Gödels (pertama) dan Masalah Pemutusan - Seberapa membatasi?

Ketika saya pertama kali mendengar hal-hal ini saya sangat terpesona karena saya pikir itu benar-benar menetapkan batas untuk matematika dan sains secara umum. Tetapi seberapa praktis hal-hal ini relevan?

Untuk Masalah Berhenti: Apakah ada lebih dari beberapa kasus yang dibuat secara artifisial, di mana orang tidak dapat memutuskan apakah algoritma akan berakhir atau tidak?

Untuk Teorema Ketidaklengkapan: Apakah ada lebih dari beberapa kasus yang dibangun secara artifisial, di mana orang tidak dapat membuktikan / membantah pernyataan?

Saya menanyakan hal ini karena tampaknya di sebagian besar bidang sains tidak terlalu penting bahwa ada batasan mendasar seperti itu. Apakah mereka ada di sana? Saya ingin tahu di mana ini benar-benar menetapkan batas dan di mana itu benar-benar relevan.

Masalah penghentian menjadi tidak pasti memiliki banyak relevansi praktis, berikut adalah contoh cepat:

Menulis perangkat lunak anti-virus itu sulit: Kami tidak dapat memutuskan apakah suatu kode tertentu berbahaya karena jika kami bisa, kami dapat memutuskan masalah penghentian.

Untuk melihat ini, ambil sepotong kode yang digunakan sebagai input mesin Turing $M$ dan kata input $w$ dan melakukan sesuatu yang berbahaya jika dan hanya jika $M$ berhenti pada input $w$. Jika kita dapat memutuskan apakah suatu kode tertentu berbahaya atau tidak, maka kita dapat memutuskan apakah kode ini berbahaya atau tidak, tetapi kemudian kita dapat memutuskan masalah penghentian, yang kita tahu tidak bisa kita lakukan.

Apa yang dikatakan ini adalah bahwa tidak ada perangkat lunak anti-virus yang sempurna, itu tidak dapat dilakukan. Itu tidak berarti kita tidak boleh mencoba menulis sotware anti-virus, hanya saja kita tidak akan pernah bisa menulis yang sempurna. Kenyataannya, pernyataan apa pun tentang memutuskan program apa yang dilakukan tidak dapat dipastikan (lihat teorema Rice ).

Sehubungan dengan teorema Godel, teorema Goodstein adalah contoh pernyataan yang tidak dapat dibuktikan menggunakan aksioma Peano.

Untuk Masalah Berhenti: Apakah ada lebih dari beberapa kasus yang dibuat secara artifisial, di mana orang tidak dapat memutuskan apakah algoritma akan berakhir atau tidak?

ada beberapa konteks "kira-kira praktis / diterapkan" dengan penelitian aktif di mana masalah berhenti memainkan peran:

• pembuktian teorema otomatis . membuktikan teorema oleh komputer berjalan ke dalam batas ketidakpastian yang sama dari masalah penghentian.

• membuktikan penghentian program untuk program nyata adalah bidang penelitian dan muncul dalam misalnya logika kompiler dan analisis program.

• Kompleksitas Kolmogorov mencoba mempelajari batas teoritis dari algoritma kompresi data. menemukan kompresi optimal (dalam arti tertentu, yaitu menemukan TM terkecil yang mengompresi string) tidak dapat diputuskan.

• ketidakpastian muncul dalam beberapa masalah fisik. misalnya sistem dinamis .

• masalah dasar dipelajari disebut masalah "berang-berang sibuk" . masih teoretis tetapi kurang abstrak daripada masalah terputus-putus dan dipelajari khususnya untuk hubungannya. peneliti telah mencoba untuk menyelesaikan ini selama beberapa dekade untuk "kecil" TM dengan beberapa negara / simbol.

di sini adalah kutipan terkait / menarik dari makalah baru-baru ini yang mempelajari masalah berang-berang yang sibuk "masalah dalam teori bilangan dari kompetisi berang-berang yang sibuk" oleh Michel (hal.3):

Sebenarnya, masalah penghentian untuk mesin Turing diluncurkan pada pita kosong adalah m-selesai, dan ini menyiratkan bahwa masalah ini sama sulitnya dengan masalah kemantapan pernyataan matematis dalam teori logis seperti ZFC (Zermelo Fraenkel menetapkan teori dengan aksioma pilihan). Jadi, ketika mesin Turing dengan lebih banyak negara dan simbol dipelajari, berpotensi semua teorema matematika akan terpenuhi. Ketika semakin banyak mesin Turing yang tidak berhenti dipelajari untuk dibuktikan tidak berhenti, seseorang harus berharap untuk menghadapi masalah yang sulit dalam matematika, yaitu masalah yang tidak bisa diselesaikan oleh pengetahuan matematika saat ini.

dengan kata lain masalah penghentian sebenarnya mengkodekan / merangkum tantangan dalam upaya membuktikan teorema matematika baru dalam matematika / CS dan karenanya dapat dianggap sebagai sangat dalam / praktis / diterapkan dalam pengertian ini. (Namun sementara beberapa menganggap pengamatan ini jelas atau sepele, ini juga umumnya bukan pendapat yang umum dipegang / disuarakan.)

Saya menjawab salah satu dari dua pertanyaan Anda, mengenai masalah penghentian.

Pertama, ketidakpastian masalah penghentian tidak menyatakan bahwa Anda tidak dapat memutuskan apakah TM tertentu tidak berhenti. Ini menyatakan bahwa tidak ada algoritma umum yang dapat memutuskan itu untuk semua TM.

Ini adalah pernyataan tentang model kami tentang apa yang merupakan perhitungan. Tetapi, menurut tesis Gereja Turing, hanya itu yang harus kita ungkapkan kompuasinya.

Mengenai relevansi, ini didasarkan pada Mesin Turing yang dibangun secara buatan. Tapi kemudian, semua TM sangat buatan dan dibangun hanya untuk menegaskan beberapa fakta tentang perhitungan. Apakah beberapa TM lebih relevan daripada yang lain dalam praktik adalah pertanyaan yang sama pentingnya dengan jenis kelamin malaikat, atau jumlah mereka yang dapat berdiri di atas kepala jarum.

Ketidakpastian masalah penghentian memberi tahu kita bahwa ada pertanyaan umum yang tidak dapat diselesaikan dengan teknik umum yang berlaku untuk semua kasus. Yang saya maksud dengan pertanyaan umum adalah pertanyaan tergantung pada beberapa parameter, di mana jawabannya dapat ditemukan untuk beberapa nilai parameter.

Ingatlah bahwa tujuan dari banyak matematika kita adalah untuk menemukan teknik umum untuk menyelesaikan keluarga masalah. Contoh tipikal adalah resolusi persamaan. Ketidakpastian masalah penghentian memberi tahu kita bahwa ini tidak selalu mungkin.

Sebagai contoh, ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa tidak ada teknik umum untuk memutuskan apakah tata bahasa bebas konteks adalah ambigu.

Namun, pertanyaan Anda valid. Mungkin masalah tidak dapat dipastikan karena Anda membuatnya terlalu umum. Mungkin, dengan sedikit membatasi, Anda dapat membuatnya layak untuk subfamili yang berguna dan masih cukup besar.

Saya tidak memiliki contoh yang spektakuler dalam pikiran, tetapi saya yakin pasti ada beberapa.

Saya ingat satu kasus sebenarnya dari masalah analisis program yang terbukti NP-lengkap (kecuali itu tidak dapat dipastikan, saya tidak ingat dengan baik). Terhadap semua saran, seorang mahasiswa PhD memutuskan untuk mengatasinya. Dia benar-benar dapat menunjukkan bahwa beberapa batasan pada masalah, yang tidak terlalu penting dalam praktiknya, mengubahnya menjadi masalah yang sangat mudah ditelusuri, sehingga memungkinkan penggunaan berbagai analisis program dan alat optimisasi.