Relasi ekivalensi pada himpunan vertex terbatas dapat diwakili oleh grafik tidak terarah yang merupakan persatuan cliques yang terpisah. Himpunan simpul mewakili elemen dan tepi mewakili bahwa dua elemen setara.
Jika saya memiliki grafik dan grafik G 1 , ... , G k , kita mengatakan bahwa G ditutupi oleh G 1 , ... , G k jika set dari tepi G sama dengan serikat dari set tepi G 1 , ... , G k . Tepi set G 1 , ... , G k tidak perlu menguraikan. Perhatikan bahwa setiap graf yang tidak diarahkan G dapat dicakup oleh sejumlah terbatas hubungan ekuivalensi (yaitu, disjoint union of cliques graph).
Saya punya beberapa pertanyaan:
- Apa yang bisa dikatakan tentang jumlah minimal hubungan ekivalensi yang diperlukan untuk mencakup grafik ?
- Bagaimana kita bisa menghitung angka minimal ini?
- Bagaimana kita bisa menghitung sampul minimum eksplisit , yaitu seperangkat relasi ekivalensi yang ukurannya minimal dan yang mencakup G ?
- Apakah masalah ini memiliki aplikasi selain dari logika partisi ( dual logika subset )?
- Apakah masalah ini memiliki nama mapan?
Mengingat berbagai kesalahpahaman yang ditunjukkan oleh komentar, berikut adalah beberapa gambar untuk menggambarkan konsep-konsep ini. Jika Anda memiliki ide untuk terminologi yang lebih mudah dipahami (alih-alih "menutupi", "hubungan ekivalensi", "perpaduan kelompok klik-klik" dan "tidak perlu saling lepas" gabungan set perangkat tepi), jangan ragu untuk memberi tahu saya.
Berikut adalah gambar grafik dan satu relasi ekivalensi yang meliputinya:
Berikut adalah gambar dari grafik dan dua hubungan ekivalensi yang meliputinya:
Seharusnya cukup jelas bahwa setidaknya dua hubungan ekivalen diperlukan.
Berikut ini adalah gambar dari grafik dan tiga relasi ekivalensi yang meliputinya:
Kurang jelas bahwa setidaknya tiga relasi ekivalen diperlukan. Lemma 1.9 dari Dual Logic of Subsets dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ini benar. Generalisasi lemma to nand operasi dengan lebih dari dua input ini adalah motivasi untuk pertanyaan ini.