Kompleksitas algoritma naif untuk menemukan substring Fibonacci terpanjang

Diberikan dua simbol dan , mari kita mendefinisikan string Fibonacci sebagai berikut: $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

dengan menunjukkan penggabungan string. $\star$

Dengan demikian kita akan memiliki:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

Mengingat string yang dibentuk oleh simbol, kita mendefinisikan Fibonacci substring sebagai salah substring dari yang juga string Fibonacci untuk pilihan yang cocok dan . $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

Masalah

Diberikan , kami ingin menemukan substring Fibonacci terpanjang. $S$

Algoritma sepele

Untuk setiap posisi dari string , anggaplah bahwa mulai di sana (cukup untuk memeriksa bahwa simbol ke- dan -th berbeda). Jika itu masalahnya, periksa apakah dapat diperluas ke , lalu , dan seterusnya. Setelah itu, mulai lagi dari posisi . Ulangi sampai Anda mencapai posisi . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

Kita harus melihat setiap simbol setidaknya sekali, jadi . Hanya ada dua untuk loop yang terlibat, sehingga kita dapat selanjutnya mengatakan bahwa itu adalah . $\Omega(n)$ $O(n^2)$

Namun (agak tidak mengejutkan) algoritma naif ini berkinerja jauh lebih baik daripada algoritma kuadratik biasa (jika itu banyak bekerja pada posisi ke- , itu tidak akan melakukan banyak pekerjaan di posisi berikutnya). $i$

Bagaimana saya bisa menggunakan properti Fibonacci untuk menemukan batas yang lebih ketat untuk waktu eksekusi algoritma ini?

— wil93
sumber

Katakan bahwa terjadi pada beberapa posisi jika substring yang dimulai pada posisi tersebut kompatibel dengan atau komplemenasinya. Seberapa dekat kejadian ? Ambil sebagai contoh . Jika terjadi pada posisi maka tidak dapat terjadi pada posisi atau $F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ , tetapi dapat muncul pada posisi . Kita membiarkan menjadi angka terkecil sehingga dua kejadian dapat terjadi pada jarak $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ . Anda dapat membuktikan dengan induksi bahwa untuk kita memiliki (misalnya, ). $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

Diberikan string dengan panjang , untuk setiap biarkan menjadi himpunan posisi di mana terjadi. Kami atas dapat terikat waktu berjalan prosedur Anda kira-kira dengan , di mana jumlahnya melebihi semua sehingga (katakanlah). Sejak kemunculan $N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ dipisahkan oleh setidaknya, Kita melihat bahwa waktu berjalan dibatasi oleh urutan $F(n)$ $|F(n-1)|$ Karena panjang kata-kata Fibonacci meningkat secara eksponensial,. Istilah yang tersisa adalah, karena jumlah berisibanyak istilah. Kami menyimpulkan bahwa waktu berjalan adalah

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

Sebaliknya, waktu berjalan pada adalah , sebagaimana dapat dibuktikan dengan induksi. Kami menyimpulkan bahwa case run time terburuk pada string panjang adalah . $F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
sumber