Apakah fungsi yang tidak dapat dikomputasi tumbuh lebih besar secara asimptotik?

13

Saya membaca tentang nomor berang-berang yang sibuk dan bagaimana mereka tumbuh secara asimptotik lebih besar daripada fungsi yang dapat dihitung. Kenapa begitu? Apakah ini karena ketidaksesuaian fungsi berang-berang yang sibuk? Jika demikian, apakah semua fungsi yang tidak dapat dikomputasi tumbuh secara asimptotik lebih besar dari yang dapat dikomputasi?

Edit:

Jawaban yang bagus di bawah ini tetapi saya ingin menjelaskan dalam bahasa inggris yang lebih jelas apa yang saya mengerti tentang mereka.

Jika ada fungsi yang dapat dihitung f yang tumbuh lebih cepat daripada fungsi berang-berang yang sibuk, maka ini berarti bahwa fungsi berang-berang yang sibuk dibatasi oleh f. Dengan kata lain, mesin turing hanya perlu dijalankan untuk f (n) banyak langkah untuk memutuskan masalah penghentian. Karena kita tahu masalah penghentian tidak dapat diputuskan, anggapan awal kita salah. Oleh karena itu, fungsi berang-berang yang sibuk tumbuh lebih cepat daripada semua fungsi yang dapat dihitung.

computability asymptotics

— hollow7
sumber

Mengenai bagian "bahasa Inggris biasa" Anda, dari mana Anda mendapatkan jawaban itu? Bagaimana Anda mendapatkan dari fungsi terikat-berang-berang untuk memutuskan masalah penghentian secara umum? Perhatikan bahwa memutuskan penghentian untuk mesin Turing yang diberikan tidak dapat dihitung.

— Raphael

@Raphael ringkasan bahasa Inggrisnya yang sederhana tampaknya benar bagi saya, tetapi tidak cukup lengkap. Detail yang hilang adalah bahwa seseorang dapat mengurangi memutuskan apakah TM

berhenti pada

untuk memutuskan apakah TM

berhenti pada pita kosong (hard-wire

ke

). Kemudian jika

adalah ikatan yang dapat dihitung pada BB, algoritma yang dijelaskan oleh OP akan memecahkan masalah penghentian pada setiap

dan

.

M

$M$

x

$x$

M^{'}

$M'$

x

$x$

M^{'}

$M'$

f (n)

$f(n)$

M

$M$

x

$x$

— Sasho Nikolov

14

Jika Anda mengambil himpunan bilangan alami yang tidak dapat dihitung, fungsi karakteristik himpunan hanya mengambil nilai dan tidak dapat dihitung. Jadi bukan kasus setiap fungsi nonkomputasi tumbuh sangat cepat, mereka bahkan dapat dibatasi. $\{0,1\}$

Fungsi Busy Beaver tumbuh lebih cepat daripada setiap fungsi yang dapat dihitung karena dibangun untuk melakukannya. Bukti bahwa itu hasil nonkomputasi dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa ia tumbuh lebih cepat daripada fungsi yang dapat dihitung.

$A \subseteq \mathbb{N}$ $A$

$B$ $e$ $f$ $f(n) = k$ $e$ $n$ $k$ $f(n) = 0$ $e$ $n$ $B$ $B$

— Carl Mummert
sumber

4

$f$ $F$ $f \in \omega(g)$ $o(g)$ $g \in F$ $f \notin F$

$\{0,1\}$ $O(1)$

Tentu saja ada set fungsi yang runtime merupakan kriteria keanggotaan yang diperlukan dan cukup, yaitu yang ditandai dengan runtime, seperti

$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

Itu hanya masuk akal dalam jumlah terbatas. Parameter fungsi HP adalah penyandian mesin Turing dan angka alami; ukurannya bukan ukuran seberapa rumitnya memutuskan untuk berhenti.

— Raphael
sumber