Tunjukkan bahwa {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} bebas konteks

Saya ingat menemukan pertanyaan berikut tentang bahasa yang seharusnya bebas konteks, tetapi saya tidak dapat menemukan bukti fakta. Apakah saya mungkin salah menjawab pertanyaan itu?

Bagaimanapun, ini pertanyaannya:

Tunjukkan bahwa bahasa bebas konteks.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Klaim : $L$ bebas konteks.

Ide Bukti : Harus ada setidaknya satu perbedaan antara babak pertama dan kedua; kami memberikan tata bahasa yang memastikan untuk menghasilkan dan meninggalkan sisanya secara sewenang-wenang.

Bukti : Demi kesederhanaan, anggap alfabet biner $\Sigma = \{a,b\}$ . Buktinya siap meluas ke ukuran lain. Pertimbangkan tata bahasa $G$ :

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

Sangat jelas bahwa itu menghasilkan

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

yang mencurigakan dapat melakukan induksi bersarang di atas dan l dengan perbedaan huruf pada pasangan ( x , y ) . Sekarang, w 2 dan v 1 bepergian (secara intuitif, w 2 dan v 1 dapat bertukar simbol karena keduanya mengandung simbol yang dipilih secara independen dari sisa kata). Oleh karena itu, x dan y memiliki posisi yang sama (dalam setengahnya masing-masing), yang menyiratkan L ( G ) = L karena $k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$ tidak memberlakukan batasan lain pada bahasanya.

Pembaca yang tertarik dapat menikmati dua masalah tindak lanjut:

Latihan 1 : Buatlah PDA untuk !$L$

Latihan 2 : Bagaimana dengan ?$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$