Buktikan itu

Menunjukkan bahwa $L=\{a^{n^2} | n \geq 0\}$ tidak teratur

Hai teman-teman. Saya mengambil kelas CS dan hal ini benar-benar baru bagi saya jadi bersabarlah. Saya mencoba melihat apakah saya mendapatkan beberapa kontradiksi dengan menggunakan lemma pemompaan untuk bahasa reguler dan saya mengatasinya seperti ini:

Seharusnya $L$teratur. Maka harus ada bilangan alami untuk semua kata dalam dengan panjang$m$$z$$L$$|z| \geq m$ dan terdapat dekomposisi$z = uvw, |uv| \leq m, |v| > 0$, maka $u(v^i)w$ dalam bahasa apa pun $i \geq 0$.

Pertimbangkan senarnya $a^{m^2}$.

Kemudian $uv = a^{k^2} = a^{x+y}$, untuk beberapa $k \leq m$ dan $x = (k-1)^2$.
Kemudian$v = a^y = a^{2k-1}$.

Membiarkan $i = 2$. Kemudian$u(v^2)w = a^{x+2y}$. Tapi$\sqrt{x+2y}$belum tentu angka alami -> Kontradiksi! Karenanya,$L$ tidak bisa teratur.

Yah, saya tahu bahwa cara ini tidak perlu rumit dan Anda dapat membuktikannya secara berbeda (saya sudah tahu solusi paling sederhana). Tetapi pertanyaan saya di sini adalah: Apakah bukti saya juga valid atau apakah mengandung kesalahan? Apakah ini benar secara formal?

Saya menghargai umpan balik apa pun! Terima kasih!

Anda tidak dapat menyimpulkan itu $uv = a^{k^2}$, semua yang diberikan lemma pemompaan adalah Anda $|uv| \leq m$. Tidak semua angka kurang dari$m$adalah kotak. Bukan hanya itu, tetapi bahkan seandainya itu$uv = a^{k^2}$, tidak ada alasan untuk menganggap itu $v = a^{2k-1}$; semua lemma memompa memberi Anda adalah itu$v$tidak kosong. Akhirnya, untuk mendapatkan kontradiksi, itu tidak cukup$x + 2y$ tidak harus persegi, tidak harus persegi! Sejak$x$ dan $x+y$ adalah kotak yang berdekatan, sebenarnya hal itu $x + 2y$ bukan persegi.