Pembulatan titik mengambang

Dapatkah nomor floating point IEEE-754 <1 (yaitu dihasilkan dengan generator angka acak yang menghasilkan angka> = 0,0 dan <1.0) pernah dikalikan dengan beberapa bilangan bulat (dalam bentuk floating point) untuk mendapatkan angka yang sama atau lebih besar dari integer itu karena pembulatan?

yaitu

double r = random() ; // generates a floating point number in [0, 1)
double n = some_int ;
if (n * r >= n) {
    print 'Rounding Happened' ;
}

Ini mungkin sama dengan mengatakan bahwa apakah ada N dan R sedemikian rupa sehingga jika R adalah angka terbesar kurang dari 1 yang dapat direpresentasikan dalam IEEE-754 maka N * R> = N (di mana * dan> = sesuai IEEE- 754 operator)

Ini berasal dari pertanyaan ini berdasarkan pada dokumentasi ini dan fungsi acak postgresql

numerical-analysis floating-point rounding

— Cade Roux
sumber

Bisakah Anda mengatakan apa-apa tentang kisaran N, yaitu apakah cukup kecil untuk diwakili tepat dalam presisi ganda IEEE-754?

— Pedro

@Pedro Dalam kasus khusus ini, ya, itu akan menjadi bilangan bulat kecil - yaitu 10. Saya berasumsi Anda mengatakan bahwa jika N adalah bilangan bulat yang sangat besar dengan jumlah digit signifikan yang sangat besar mungkin tidak dapat diwakili dengan tepat?

— Cade Roux

Tepat, jika

, maka

mungkin lebih besar dari

f l (N) > N

$fl(N) > N$

f l (R \times f l (N))

$fl(R\times fl(N))$

R N

$RN$

— Pedro

Dengan asumsi bulat ke terdekat dan bahwa , maka selalu. (Hati-hati untuk tidak mengonversi bilangan bulat yang terlalu besar.) $N > 0$ $N * R < N$

Misalkan , dengan adalah signifikan dan adalah eksponen bilangan bulat. Biarkan dan turunkan batasnya $c 2^{-q} = N$ $c \in [1, 2)$ $q$ $1 - 2^{-s} = R$

N R = c 2^{- q} (1 - 2^{- s}) \leq c 2^{- q} - 2^{- q - s},

$N R = c 2^{-q}(1 - 2^{-s}) \le c 2^{-q} - 2^{-q - s},$

dengan persamaan jika dan hanya jika . Sisi kanan kurang dari dan, karena adalah tepat unit di tempat terakhir , baik dan persis dapat direpresentasikan (karena adalah normal dan bukan yang terkecil normal), atau , dan pembulatan terdekat turun. Dalam kedua kasus, kurang dari $c = 1$ $N$ $2^{-q - s}$ $0.5$ $N$ $c = 1$ $2^{-q} - 2^{-q - s}$ $N$ $c > 1$ $N * R$ $N$ .

Pembulatan ke atas dapat menyebabkan masalah, bukan karena itu harus dipilih di hadapan pengguna yang tidak curiga. Inilah beberapa C99 yang dicetak "0\n1\n"pada mesin saya.

#include <fenv.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    double n = 10;
    double r = nextafter(1, 0);
    printf("%d\n", n == (n * r));
    fesetround(FE_UPWARD);
    printf("%d\n", n == (n * r));
}

— Tyrone
sumber

Maaf, saya agak lambat akhir-akhir ini - Saya mengalami kesulitan mendapatkan bagian dari ketidaksetaraan

- c 2^{- q} 2^{- s} \leq - 2^{- q s}

$- c 2^{-q} 2^{-s} \le - 2^{-q s}$

— Cade Roux

@Cade Tampaknya saya tidak bisa melakukan aljabar hari ini. Maksud saya

2^{- q - s}

$2^{-q - s}$

— Tyrone

Terima kasih, saya tidak yakin apakah ada langkah lain yang saya lewatkan.

— Cade Roux