Kompleksitas waktu dari loop bersarang tiga

13

Harap pertimbangkan loop bertingkat tiga berikut:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

Pernyataan di sini dijalankan dengan tepat $n(n+1)(n+2)\over6$ kali. Bisakah seseorang tolong jelaskan bagaimana formula ini diperoleh? Terima kasih.

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
sumber

1

Pertanyaan Rumus kompleksitas waktu dari loop bersarang mungkin juga menarik.

— Juho

14

Anda dapat menghitung berapa kali loop terdalam dieksekusi dengan menghitung jumlah triplet $(i,j,k)$ yang dieksekusi.

Dengan kondisi loop kita tahu bahwa: . Kita bisa menguranginya menjadi masalah kombinatorik sederhana berikut. $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

Bayangkan kotak warna merah ditempatkan dalam array dari kiri ke kanan. $n+2$
Pilih 3 kotak dari kotak dan beri warna biru. $n+2$
Bentuk triplet sebagai berikut:
- = 1 + jumlah kotak berwarna merah di sebelah kiri kotak biru pertama. $i$
- = 1 + jumlah kotak berwarna merah di sebelah kiri kotak biru kedua. $j$
- = 1 + jumlah kotak berwarna merah di sebelah kiri kotak biru ketiga. $k$

Jadi, kita hanya perlu menghitung jumlah cara memilih 3 kotak dari kotak yaitu $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
sumber

2

Jawaban bagus! Nilai tepat i, j, k tidak penting. Kita hanya perlu tahu bahwa setiap kotak biru dapat ditempatkan di posisi yang mungkin dan bahwa posisi mereka dibatasi: yang ke-2 selalu datang setelah tanggal 1 dan sebelum ke-3.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda Hapus kecuali untuk bagian

di

. Bisakah Anda jelaskan?

terlihat seperti angka yang benar.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame Ya. Anda dapat membayangkan memiliki

kotak merah, tetapi memiliki kebebasan untuk memilih 3 kotak merah untuk melukis biru dari antara "

kotak merah", karena Anda tidak dapat mewarnai kotak pertama sebagai biru (Karena

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

3

bagi saya, lebih mudah untuk melihat loop dalam dieksekusi kali dan jumlah total eksekusi dalam loop dalam adalah $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

ini dapat ditulis ulang sebagai dan dieksekusi kali, sehingga jumlah total eksekusi adalah $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
sumber

Tantangan bagi Anda: Bayangkan Anda memiliki loop bersarang-x. Menurut jawaban sebelumnya yang akan dieksekusi (n + x-1) pilih x kali. Bagaimana Anda menghitung formula Anda?

— Dávid Natingga

untungnya OP tidak meminta x-nested! Bagaimana jawaban lain yang diberikan meluas ke loop bersarang x? Jawaban saya seharusnya mendapatkan lebih banyak jumlah dari 0 hingga n, 0 hingga n-i_1, 0 hingga n-i_2, ..., 0 hingga n-i_x. Tetapi saya tidak tahu bagaimana cara menghitungnya.

— andy mcevoy

1

Jawabannya tidak berkembang secara eksplisit untuk x umum, tetapi proses penalaran yang disajikan mudah diikuti untuk loop bersarang x. Anda hanya menambahkan lebih banyak kotak biru. Saya juga tidak tahu bagaimana saya akan menghitung jumlah yang lebih banyak.

— Dávid Natingga