Aspek yang diketahui dari polytope Problem Salesman Traveling

Untuk metode branch-and-cut, penting untuk mengetahui banyak sisi dari poltop yang dihasilkan oleh masalah. Namun, saat ini merupakan salah satu masalah yang paling sulit untuk benar-benar menghitung semua segi polytopes karena mereka dengan cepat tumbuh dalam ukuran.

Untuk masalah optimasi sembarang, polytope yang digunakan oleh branch-and-cut atau juga dengan cutting-plane-methods adalah cembung lambung dari semua simpul yang layak. Vertex adalah penugasan semua variabel model. Sebagai contoh (sangat sederhana): jika seseorang akan memaksimalkan st dan maka simpul , dan adalah simpul yang layak. melanggar ketimpangan dan karenanya tidak layak. Masalah optimisasi (kombinatorik) adalah memilih di antara simpul-simpul yang layak. (Dalam hal ini, jelas $2\cdot x+y$ $x+y \leq 1$ $0\leq x,y\leq 1.5$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,1)$ $x+y\leq 1.5$ $(1,0)$ adalah optimal). Lambung cembung dari simpul-simpul ini adalah segitiga dengan tepat ketiga simpul ini. Faset dari polytope sederhana ini adalah , dan . Perhatikan bahwa deskripsi melalui aspek lebih akurat daripada model. Dalam sebagian besar masalah sulit - seperti TSP - jumlah aspek melebihi jumlah ketidaksetaraan model dengan beberapa urutan besarnya. $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$

Mempertimbangkan Masalah Travelling Salesman, untuk jumlah node yang mana polytope sepenuhnya diketahui dan berapa banyak segi yang ada. jika tidak lengkap, berapakah batas bawah pada jumlah faset?

Saya sangat tertarik dengan apa yang disebut formulasi jalur hamiltonian TSP:

m i n \sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall i \neq j : 0 \leq x_{i, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall i \neq j x_{i, j} + x_{j, i} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{i, j} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{i, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{j, i} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{j, i} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} x_{i, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Jika Anda memiliki informasi tentang polytopes formulasi lain dari TSP, jangan ragu untuk membagikannya juga.

— Stefan
sumber

Secara pribadi, saya tidak yakin apa artinya "poltop masalah". Tetapi kemudian, saya memiliki sedikit latar belakang dalam teori kompleksitas.

— Raphael

Ini sebenarnya bukan teori kompleksitas (bukan saya menandai tag ini). Sebenarnya belum ada tag yang cocok untuk pertanyaan semacam ini. Tag yang cocok adalah metode branch-and-cut atau cutting-plane. Saya akan menambahkan beberapa informasi tentang polytope apa yang saya bicarakan segera

— stefan

@ Raphael: Saya telah memperbarui pertanyaan, sehingga Anda dapat membaca sesuatu tentang segi dan poltop.

— Stefan

@stean: Ah, jadi itu hanya ruang solusi yang layak. Dalam hal ini, pencarian TSP jelas berukuran eksponensial; kalau tidak, kita sudah memiliki P = NP yang lalu. Terlebih lagi, TSP biasanya didefinisikan pada grafik lengkap yang tidak diarahkan, sehingga adasolusi yang layak. Jadi saya tidak melihat apa lagi yang Anda cari; mungkin saya tidak mendapatkan detail penting dari pertanyaan Anda. Mungkin Anda telah menuliskan LP santai, bukan IP?

n!

$n!$

— Raphael

@Raphael itu adalah cembung solusi yang layak. Anda benar bahwa kecuali P = NP cembung cembung ini akan memiliki banyak segi secara eksponensial. Namun, jumlah simpul tidak ada hubungannya dengan itu: lambung cembung vektor biner adalah kubus boolean yang hanya memiliki faset. lebih dari itu, memiliki banyak sisi secara eksponensial juga tidak berarti bahwa tidak ada polytope berdimensi lebih tinggi yang diproyeksikan ke yang diberikan. misalnya mengambil lambung cembung dari vektor basis standar, yang memiliki segi, tetapi merupakan proyeksi dari program linier kecil.

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

Jawaban:

Untuk batas asimptotik, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari, dan de Wolf baru-baru ini menunjukkan batas bawah eksponensial pada jumlah sisi setiap polytope yang memproyeksikan ke TSP polytope (TSP polytope, menjadi cembung cembung solusi TSP yang layak). Ini lebih kuat dari apa yang Anda minta, dan menyiratkan bahwa bahkan menambahkan variabel tambahan tidak akan membuat TSP polytope terwakili secara efisien.

Makalah mereka merupakan tindak lanjut dari makalah klasik tahun 1988 oleh Yannakakis, yang menunjukkan hasil yang sama tetapi hanya untuk polytopes yang memenuhi kondisi simetri tertentu.

— Sasho Nikolov
sumber

Terima kasih atas tautan ini! Ini tentu saja merupakan hasil yang mengesankan, meskipun akan aneh untuk memiliki polytope (= non-eksponensial tumbuh) yang bagus untuk masalah NP.

— stefan

bagian yang mengejutkan adalah mampu membuktikannya :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik polinomial polytom yang berkembang untuk masalah NP akan menyiratkan P = NP sebagai negara raphael di atas ... juga ada yang melihat pernyataan / diskusi tentang apa yang akan diperlukan untuk memperpanjang Fiorini et al ke P! = NP proof?

— vzn

jawaban singkatnya adalah bahwa hasilnya adalah tentang model komputasi yang lebih lemah daripada TM yang dibatasi waktu, dan Anda ingin versi itu untuk model yang sekuat P. untuk bukti bahwa formulasi yang diperluas lebih lemah daripada P, Rothvoss baru-baru ini membuktikan bahwa polyope yang cocok memiliki kompleksitas ekstensi yang eksponensial; namun demikian, fungsi linier acak atas polytope yang cocok dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma Edmonds, atau metode ellipsoid.

— Sasho Nikolov

lebih teknis, ada banyak alasan mengapa hasilnya jauh dari P vs NP: hasilnya adalah untuk penyandian tetap dari solusi masalah sebagai vektor, dan tidak mengesampingkan penyandian yang lebih cerdik dapat memungkinkan formulasi polias; juga, hasilnya mengatakan bahwa untuk pengkodean yang diberikan, setiap LP kompak gagal pada beberapa fungsi tujuan, tetapi dimungkinkan untuk menggunakan LP yang berbeda untuk fungsi tujuan yang berbeda; akhirnya, kita masih pada dasarnya tidak memiliki batas bawah eksplisit terhadap SDP, dan kemudian ada metode ellipsoid yang dapat memecahkan piringan hitam ukuran eksponensial

— Sasho Nikolov

Ada pustaka yang disebut SMAPO (kependekan dari pustaka deskripsi linier dari contoh masalah SMAll dari POlytopes dalam optimasi kombinatorial) untuk banyak polytopes termasuk TVP simetris serta TSP grafis.

Untuk STSP, ini adalah daftar jumlah segi untuk poltop kecil

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— Stefan
sumber