Memecahkan relasi yang berulang

Saya ingin membuktikan bahwa kompleksitas waktu dari suatu algoritma adalah polylogarithmic dalam skala input.

Relasi pengulangan dari algoritma ini adalah , di mana . $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ $a\in(0,1)$

Tampaknya untuk beberapa tergantung pada . Tapi saya tidak bisa membuktikan ketidaksetaraan ini. Bagaimana mengatasi hubungan pengulangan ini? $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ $\beta$ $a$

Saya hanya ingin mendapatkan polylogarithmic batas atas di n.

asymptotics recurrence-relation

— Qiang Li
sumber

a < 1

$a<1$ , Saya berasumsi? Juga, apakah Anda memeriksa pertanyaan referensi kami ? Saya tidak berpikir kasus spesifik yang Anda tanyakan secara eksplisit dibahas di sana tetapi ada banyak teknik yang dijelaskan.

— David Richerby

Tidak ada teorema "master" untuk tipe ini yang saya sadari; lih pertanyaan saya ini dan ini . (cc @DavidRicherby)

— Raphael

Dugaan Anda salah. Bahkan, tidak sulit untuk menunjukkan asumsi itu $T(n) > 0$ untuk semua $n > 0$ , kemudian $T(n) = \Omega(\log^k n)$ untuk semua $k$ . Memang, untuk menahan ini kita perlu itu cukup besar $n$ kami akan memiliki

(1 + a^{k}) \log^{k} n = \log^{k} n + \log^{k} n^{a} \geq \log^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$ atau

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$ , yang berlaku selama

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$ , dan khususnya untuk yang cukup besar

n

$n$ .

Apa urutan pertumbuhan yang benar $T(n)$ ? Untuk mencoba dan mencari tahu, tulis $S(n) = T(2^n)$ . Perulangan sekarang menjadi

S (n + 1) = S (n) + S (a n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$ Untuk yang besar

n

$n$ , kami harapkan

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$ menjadi sangat dekat

S^{'} (n)

$S'(n)$ , dan secara heuristik kita harapkan itu

S

$S$ memuaskan

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$ . Persamaan ini tampaknya agak sulit untuk dipecahkan, tetapi solusi perkiraannya adalah

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$ . Mengganti kembali, kami menyimpulkan bahwa urutan pertumbuhan

T (n)

$T(n)$ harus seperti

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ .

— Yuval Filmus
sumber

Tampaknya

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$ . Batas bawah tidak berlaku.

— Qiang Li

@QiangLi Terima kasih telah menemukan kesalahan. Namun batas bawah memang berlaku, begitu argumen diubah.

— Yuval Filmus