Hilang dalam konser "satu arah"

Anda dan seorang teman kehilangan satu sama lain pada saat konser, dan tidak ada yang yakin Anda lebih maju. Secara formal, masing-masing berada pada koordinat bilangan bulat dan hanya dapat berjalan menuju koordinat yang lebih tinggi atau tetap di tempatnya.

Anggap Anda dan teman Anda mengikuti algoritma yang sama persis (dan tidak, Anda mungkin tidak mengatakan "jika (nama ==" R B ") melakukan sesuatu :)), dan jarak awal antara Anda berdua adalah (yang tidak diketahui oleh Anda). $x$

Apa algoritma yang meminimalkan jarak berjalan yang diharapkan sampai Anda dan teman Anda bertemu?

Anda mungkin menganggap teman dan diri Anda bergerak dalam kecepatan konstan yang sama.

Contoh algoritma sederhana adalah sesuatu seperti:

Pada tahap (mulai dari ): $n$ $0$

Jalan langkah ke kanan wp $3^n$ atau tungguunit waktu jika tidak. $\frac{1}{2}$ $3^n$

Untuk melihat algoritma ini membuat teman-teman bertemu dengan probabilitas 1 mempertimbangkan apa yang terjadi pada tahap . Bahkan jika teman yang langkah maju selalu berjalan dan yang lain selalu tetap di tempatnya, jarak antara keduanya adalah: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + ... + 3^{{catatan}_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Oleh karena itu, di iterasi, teman yang memilih untuk berjalan kaki akan menutupi jarak , maka dengan probabilitas $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ , teman yang ada di belakang akan menyusul dan mereka akan bertemu. $\frac{1}{4}$

Optimalisasi sederhana (untuk mengurangi jarak berjalan) adalah, alih-alih berjalan langkah, berjalan langkah, di mana diberikan oleh: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Karenanya optimal untuk algoritma ini adalah $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

Sayangnya, meskipun algoritma ini menjamin bahwa teman-teman akan bertemu dengan probabilitas 1, jarak jalan kaki yang diharapkan tidak terbatas, yang merupakan sesuatu yang ingin saya hindari jika memungkinkan.

Apakah ada algoritma yang lebih efisien?

algorithms randomized-algorithms

— BPR
sumber

Ketika Anda mengatakan "jarak jalan kaki yang diharapkan" - maksud Anda dalam kasus terburuk, di mana algoritmanya probabilistik, atau apakah Anda juga mengasumsikan distribusi pada input? Juga - apakah Anda memerlukan algoritme Anda untuk selalu benar, atau benar wp 1? (atau kurang?) - perhatikan bahwa algoritma yang Anda tampilkan di sini mungkin tidak pernah berhenti (tapi wp 0)

— Shaull

Ini mirip dengan masalah pencarian linear ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ).

— Yuval Filmus

@ Samull - karena kedua teman mengikuti algoritma yang sama, itu harus probabilistik atau mereka tidak akan pernah bertemu. Harapannya lebih dari pengacakan algoritma.

— RB

Dalam algoritma Anda maksud Anda berjalan

unit waktu ke kanan dengan kecepatan konstan

? Berjalan

langkah mungkin tidak berbicara 2 ^ n waktu.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说 ARCHY SHUō

@ 0a-archy - kami menganggap bahwa keduanya bergerak dengan kecepatan yang sama (biarkan 1

satuan

untuk hal ini). Gagasan dalam algoritma yang saya berikan adalah bahwa Anda berjalan dengan

langkah atau menunggu waktu yang setara, sehingga setiap iterasi dimulai pada waktu yang sama untuk kedua pemain.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

Pada langkah , gambar angka acak secara seragam antara , , dan . $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

jika , jalan , tunggu , jalan $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

jika , tunggu , jalan , tunggu , jalan , tunggu $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

jika , tunggu , jalan , tunggu $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

Pada setiap langkah , kedua teman akan berjalan langkah . Jika , mereka tidak akan bertemu selama langkah itu, namun jika , mereka akan bertemu jika dan hanya jika mereka tidak menggambar angka yang sama. Probabilitas bahwa ini tidak terjadi hanya pada setiap langkah. $k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

Karenanya jarak jalan kaki yang diharapkan adalah (dibatasi di atas oleh):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ {catatan}_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ {catatan}_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ {catatan}_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Yang terbatas, dan sama, jika matematika serbet saya dapat dipercaya, untuk . $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ adalah properti yang jauh lebih kuat dan saya rasa tidak mungkin menemukan solusi yang memuaskannya.

— David Durrleman
sumber