Apakah bahasa ini didefinisikan menggunakan prima kembar biasa?

19

Membiarkan

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

Apakah teratur? $L$

Pertanyaan ini tampak mencurigakan pada pandangan pertama dan saya menyadari bahwa itu terkait dengan dugaan kembar utama . Masalah saya adalah dugaan itu belum terselesaikan, jadi saya tidak yakin bagaimana saya bisa melanjutkan dengan memutuskan bahwa bahasa itu teratur.

— Daniil
sumber

Perhatikan bahwa jika maka adalah hasil bagi: (atau, itu adalah set awalan dari ). Secara umum, untuk bahasa unary bahasa teratur.

P = {a^{p} : p, p + 2 \in P}

$P=\{a^p:p,p+2\in\mathbb{P}\}$

L

$L$

L = P / a^{*}

$L=P/a^{\ast}$

P

$P$

P

$P$

P / a^{*}

$P/a^{\ast}$

— sdcvvc

Varian yang lucu adalah . Ini biasa jika dugaan kembar utama salah.

L = {a^{p} : p and p + 2 are prime}

$L = \{ a^p : p \text{ and } p+2 \text{ are prime} \}$

— Yuval Filmus

17

Jika dugaan prime kembar adalah benar, maka , yang biasa. Jika dugaan utama kembar tidak benar, maka ada banyak bilangan prima kembar; memang, ada sepasang kembar bilangan prima terbesar . Dalam hal ini, , bahasa yang terbatas. Dalam kedua kasus, Anda mendapatkan bahasa reguler, jadi saya pikir aman untuk menyimpulkan bahwa adalah bahasa biasa ... kami tidak akan tahu yang mana itu sampai dugaan kembar utama diselesaikan. $L = a^{*}$ $\{p, p + 2\}$ $L = \{a^{n} | n < p + 1\}$ $L$

— Patrick87
sumber

<Sudah terlalu banyak melakukan logika intuitionistic> Bisakah dugaan perdana kembar tidak dapat diputuskan?

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

@Gilles Apakah benar-benar istilah yang tidak dapat dipungkiri benar di sini? Entah ada banyak bilangan prima kembar yang tak terbatas atau tidak.

— Zach Langley

@ ZachLangley Tidak harus: dugaan kembar utama (TP) dapat diputuskan (dalam arti independen dari aksioma matematika biasa) . Tapi komentar saya adalah lelucon (tidak mungkin didapat jika Anda tidak tahu apa logika intuitionistic itu; pada kenyataannya, dari "TP or not TP", kita dapat menyimpulkan "

adalah terbatas atau

adalah

", jadi

tetap saja biasa

L

$L$

L

$L$

L = a^{*}

$L=a^*$

L

$L$

— Gilles 'SO- stop being evil'

11

Ya, bahasa ini biasa saja. Dugaan kembar utama tidak perlu diselesaikan untuk melihat ini:

Misalkan dugaan prime kembar adalah benar, yaitu, untuk apa pun , kita dapat menemukan prima sehingga adalah prima. Maka khususnya, , karena kondisinya selalu benar. Bahasa terakhir ini dapat dinyatakan oleh dan karenanya biasa. $n$ $p \geq n$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \in N \}$ $a^*$

Misalkan dugaan utama kembar itu salah. Kemudian ada beberapa sedemikian sehingga ada beberapa prime sehingga adalah prima, dan untuk setiap , tidak ada sedemikian rupa sehingga adalah prime. Dalam hal ini, , yang merupakan bahasa yang terbatas, dan karena itu teratur. $N$ $p$ $p+2$ $n > N$ $p$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \leq N \}$

Berdasarkan perbedaan kasus, kami menyimpulkan bahwa adalah reguler. $L$

— Alex ten Brink
sumber

9

Biasa dalam kedua kasus.

Jika ada banyak bilangan prima kembar yang tak terhingga, maka . $L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
Jika ada banyak bilangan prima kembar, maka adalah terbatas, oleh karena itu teratur. $L$

— Janoma
sumber