Membuktikan penutupan di bawah pelengkap bahasa yang diterima oleh min-heap automata

Ini adalah pertanyaan lanjutan dari pertanyaan ini .

Dalam pertanyaan sebelumnya tentang mesin negara eksotis , Alex ten Brink dan Raphael membahas kemampuan komputasi jenis mesin negara yang aneh: min-heap automata. Mereka mampu menunjukkan bahwa himpunan bahasa yang diterima oleh mesin tersebut ( ) bukan merupakan himpunan bagian atau superset dari himpunan bahasa bebas konteks. Mengingat penyelesaian yang berhasil dan minat yang jelas pada pertanyaan itu, saya melanjutkan untuk mengajukan beberapa pertanyaan lanjutan.$HAL$

Diketahui bahwa bahasa reguler ditutup di bawah berbagai operasi (kami dapat membatasi diri pada operasi dasar seperti penyatuan, persimpangan, pelengkap, perbedaan, penggabungan, bintang Kleene, dan pembalikan), sedangkan bahasa bebas konteks memiliki penutupan yang berbeda properti (ini ditutup di bawah penyatuan, penggabungan, bintang Kleene, dan pembalikan).

Apakah HAL ditutup dengan komplementasi?

Klaim : adalah tidak tertutup terhadap pelengkap.$\mathrm{HAL}$

Ide Bukti : Kami telah sepakat bahwa (bahasa palindrom bahkan di atas alfabet non-unary) tidak dalam . Kami menunjukkan bahwa . Ini hanya berfungsi untuk tipe-1 (karena tipe-2 dapat menerima ); buktinya bisa disesuaikan dengan tipe-2, lihat di bawah.$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$
$\mathrm{EPAL}$

Bukti : Catat itu

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

Kami membuat robot min-heap dengan dua simbol heap yang berfungsi seperti ini:$b < a$

• Dalam keadaan awal, tentukan secara non-determisistik apakah panjang inputnya genap.
• Pada jalur yang tidak rata, gunakan kontrol hingga untuk menerima input jika dan hanya jika panjangnya ganjil.
• Di jalan , lanjutkan seperti ini: $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • Mulai dengan menambahkan satu untuk tumpukan untuk setiap simbol membaca.$a$
  • Pada posisi yang ditentukan secara non-deterministik, simpan simbol saat ini dalam kontrol hingga dan mulai tambahkan satu (dan tidak ) untuk menumpuk untuk setiap simbol baca.$b$$a$
  • Pada posisi yang ditentukan secara non-deterministik, berhenti menambahkan simbol dan mengkonsumsi satu per simbol input.$b$
  • Ketika semua dikonsumsi, bandingkan simbol saat ini dengan yang disimpan dalam kontrol. Jika mereka tidak setara, lanjutkan; lain menolak input.$b$
  • Mengkonsumsi satu per simbol input. Jika tumpukan kosong pada saat yang sama input berakhir, terima kata; tolak sebaliknya.$a$

Automaton min-heap yang dijelaskan menerima . Sebagai pelengkapnya, , tidak ada di , kami telah membuktikan klaim tersebut.$\overline{\mathrm{EPAL}}$$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$

Catatan: Buktinya dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan (yang ada di ) dan melengkapi. Ini memperluas hasil di atas ke tipe-2.$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$