Apakah ada hubungan konkret antara teorema ketidaklengkapan Gödel, masalah penghentian dan mesin Turing universal?

76

Saya selalu berpikir secara samar bahwa jawaban untuk pertanyaan di atas adalah afirmatif di sepanjang baris berikut. Teorema ketidaklengkapan Gödel dan ketidakpastian masalah penghentian keduanya merupakan hasil negatif tentang decidability dan dibangun oleh argumen diagonal (dan pada 1930-an), sehingga keduanya harus menjadi dua cara untuk melihat hal yang sama. Dan saya berpikir bahwa Turing menggunakan mesin Turing universal untuk menunjukkan bahwa masalah penghentian tidak dapat diselesaikan. (Lihat juga pertanyaan math.SE ini .)

Tetapi sekarang (mengajar mata kuliah tentang komputasi), saya melihat lebih dekat ke masalah ini, saya agak bingung dengan apa yang saya temukan. Jadi saya butuh bantuan untuk meluruskan pikiran saya. Saya menyadari bahwa di satu sisi argumen diagonal Gödel sangat halus: perlu banyak usaha untuk membangun pernyataan aritmatika yang dapat diartikan sebagai mengatakan sesuatu tentang turunannya sendiri. Di sisi lain, bukti ketidaktentuan masalah penghentian yang saya temukan di sini sangat sederhana, dan bahkan tidak secara eksplisit menyebut mesin Turing, apalagi keberadaan mesin Turing universal.

Pertanyaan praktis tentang mesin Turing universal adalah apakah penting bahwa alfabet mesin Turing universal sama dengan mesin Turing yang disimulasikan. Saya pikir itu akan diperlukan untuk menyusun argumen diagonal yang tepat (memiliki mesin mensimulasikan sendiri), tetapi saya belum menemukan perhatian pada pertanyaan ini dalam koleksi membingungkan dari deskripsi mesin universal yang saya temukan di internet. Jika bukan karena masalah penghentian, apakah mesin Turing universal berguna dalam argumen diagonal?

Akhirnya saya bingung dengan bagian selanjutnya inidari artikel WP yang sama, yang mengatakan bahwa bentuk ketidaklengkapan Gödel yang lebih lemah mengikuti dari masalah penghentian: "axiomatisasi suara yang lengkap, konsisten, dan sehat dari semua pernyataan tentang bilangan alami tidak dapat diraih" di mana "bunyi" seharusnya menjadi pelemahan. Saya tahu sebuah teori konsisten jika seseorang tidak dapat memperoleh kontradiksi, dan teori lengkap tentang bilangan asli tampaknya berarti bahwa semua pernyataan yang benar tentang bilangan alami dapat diturunkan di dalamnya; Saya tahu Gödel mengatakan teori seperti itu tidak ada, tetapi saya gagal untuk melihat bagaimana binatang hipotetis seperti itu bisa gagal menjadi sehat, yaitu, juga mendapatkan pernyataan yang salah untuk bilangan asli: penolakan pernyataan seperti itu akan benar , dan karenanya dengan kelengkapan juga dapat diturunkan, yang akan bertentangan dengan konsistensi.

Saya akan sangat menghargai klarifikasi apa pun pada salah satu poin ini.

— Marc van Leeuwen
sumber

Anda memiliki satu masalah konseptual: decidability algoritmik (Masalah terputus) dan respons derivabilitas. Provabilitas (logika) adalah dua konsep yang sangat berbeda; Anda tampaknya menggunakan "decidability" untuk keduanya.

— Raphael

1

@ Raphael: Saya sangat menyadari bahwa ada perbedaan konseptual yang besar antara pernyataan teorema ketidaklengkapan dan ketidaktentuan masalah penghentian. Namun bentuk negatif dari ketidaklengkapan: sistem formal yang cukup kuat tidak dapat konsisten dan lengkap, diterjemahkan ke dalam pernyataan keraguan: karena set teorema yang dapat dikurangkan dalam sistem formal semi-decidable oleh konstruksi, kelengkapan akan membuat set non -theorem semi-decidable juga (sebagai negasi dari teorema, dengan asumsi konsistensi, atau yang lain sebagai set kosong), maka decidable.

— Marc van Leeuwen

ya memang kedua bukti secara konseptual sangat mirip dan pada kenyataannya satu cara untuk melihatnya adalah bahwa Godel membangun semacam logika turing-complete dalam aritmatika. ada banyak buku yang menunjukkan kesetaraan konseptual ini. mis. Godel Escher Bach oleh hofstadter atau Emperors New Mind oleh penrose ....

— vzn

Agak terkait ... Saya selalu salah mengenang parabel Hofstadter di mana Kura-kura terus memecahkan rekor pemain Achilles, seperti melamar masalah penghentian. Bahkan, saya menemukan utas ini dengan (kembali) mencari kebingungan saya. Saya masih merasa parabel menerjemahkan lebih secara alami dan langsung ke masalah penghentian, tetapi ini tanpa pemahaman yang mendalam dari kedua teorema.

— micans

32

Saya sarankan Anda untuk memeriksa posting blog Scott Aaronson pada bukti Teorema Ketidaklengkapan melalui mesin Turing dan Teorema Rosser. Bukti teorema ketidaklengkapannya sangat sederhana dan mudah diikuti.

— Marcos Villagra
sumber

Terima kasih atas tautan ini, saya akan menerima untuk saat ini karena ini yang paling dekat dengan kekhawatiran saya. Pada awalnya saya agak terganggu: saya salah mengerti "lengkap" berarti "setiap kebenaran adalah turunan" (sebuah percakapan dengan suara) alih-alih "jika tidak dapat diturunkan maka adalah" (sebuah ke konsisten). Scott Aaronson tampaknya mempercayai arti "lengkap" jelas bagi audiens, meskipun ia tampaknya tidak menganggap audiens ahli logika (yang tentu saja tidak); dengan kesalahpahaman saya tentang apa yang ditulisnya tidak masuk akal. Setelah menemukan kesalahan saya, saya menemukan posting yang cukup menarik.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

1

Ada bukti lain dalam nada yang sama dalam buku The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) dalam bab tentang komputabilitas. Di sana, penulis menghindari penggunaan teorema Rosser dan hanya mengasumsikan keberadaan mesin universal (yaitu, Tesis Church-Turing). Referensi yang tepat adalah bagian 7.2.5 halaman 238.

— Marcos Villagra

21

Jawaban Neel Krishnaswami untuk Menghentikan masalah, set yang tidak dapat dihitung: bukti matematika umum? pada CSTheory menunjuk ke referensi yang menghubungkan hasil di atas di bawah payung teori kategori.

— Suresh
sumber

1

makalah ini tidak disebutkan dalam jawaban cstheory (tetapi dalam komentar posting blog Andrej Bauer dari jawaban), tetapi mungkin merupakan tinjauan yang baik juga.

— Artem Kaznatcheev

Ini adalah koneksi berdasarkan kesamaan bukti, bukan implikasi antara hasil, bukan?

— Raphael

1

Nah, pandangan di koran yang ditautkan oleh Artem adalah bahwa semua ini adalah manifestasi dari satu kategori-fakta teoretis.

— Suresh

16

(Seharusnya ini adalah komentar untuk jawaban Suresh, tapi terlalu panjang untuk masuk ke sana. Jadi aku minta maaf sebelumnya bahwa itu tidak benar-benar menjawab pertanyaan Marc.)

Saya menemukan jawaban Neel Menghentikan masalah, set yang tidak dapat dihitung: bukti matematika umum? pada posting blog CSTheory dan Andrej Bauer tidak memuaskan karena dua alasan.

Pertama, kita biasanya tidak memerlukan semua jargon teori-kategori untuk menjelaskan hubungannya. Keberadaan bahasa yang tidak dapat dipastikan tersirat oleh Teorema Cantor , yang memiliki bukti diagonal yang sangat dasar. Alasannya adalah bahwa set program setara dengan . Di sisi lain, karena setiap bahasa dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari , dan dengan demikian himpunan semua bahasa setara dengan . Oleh Teorema Cantor, tidak ada penolakan dari ke , dan dengan demikian kita tahu bahwa pasti ada bahasa yang tidak dapat ditentukan. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Kedua, bukti di atas tidak memuaskan karena kami juga ingin "melihat" contoh bahasa yang tidak masuk akal. Bukti di atas dapat dilihat sebagai argumen penghitungan dan dengan demikian tidak benar-benar "konstruktif" dalam pengertian itu. Turing menemukan masalah penghentian sebagai contoh.

— Dai
sumber

+1 Ini adalah pendekatan yang lebih sederhana, tapi saya masih ragu tentang ini: "dan dengan demikian kita tahu pasti ada bahasa yang tidak dapat diputuskan." Bisakah Anda menentukan perbedaan antara bahasa yang tidak dapat ditentukan dan masalah yang tidak dapat ditentukan?

— Hernan_eche

1

@Hernan_e Tidak ada "perbedaan" sebenarnya. Masalah keputusan dalam teori komputasi dapat didefinisikan sebagai pertanyaan ya-atau-tidak pada set input . Dengan demikian, kita dapat menetapkan setiap masalah keputusan ke set input yang jawabannya adalah ya. Set adalah bahasa yang didefinisikan oleh masalah .

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Dai

Dipahami, Anda sangat jelas, saya setuju argumen penghitungan tidak sepenuhnya memuaskan, tetapi bahkan tanpa contoh, saya pikir mungkin bagian terburuknya adalah bahwa tidak terbatas, maka tidak ada kejutan besar dalam mengatakan ada adalah bahasa yang tidak dapat diputuskan, akan sangat bagus untuk memperluas (lebih baik dikatakan membatasi ) alasan untuk kasus yang terbatas, (Saya tidak meminta contoh masalah yang tidak dapat dipastikan), tetapi bukti yang sama (atau pembongkaran) yang valid untuk set yang terbatas input yang diterima alih-alih

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

Namun argumen diagonal memang merupakan bukti konstruktif. Sepanjang pengurangan Anda ke Teorema Cantor, bahasa yang tidak dapat diputuskan adalah kumpulan semua mesin yang pengodeannya tidak dalam bahasa yang diterima.

— Willard Zhan

6

Mesin Universal Turing berguna untuk beberapa argumen diagonal, misalnya dalam pemisahan beberapa kelas dalam hierarki kompleksitas waktu atau ruang : mesin universal digunakan untuk membuktikan ada masalah keputusan dalam tetapi tidak di . (Batas yang lebih baik dapat ditemukan di artikel WP) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

Namun, sejujurnya, jika Anda melihat lebih dekat, mesin universal tidak digunakan di bagian `negatif ': buktinya mengandaikan ada mesin yang akan memecahkan versi terbatas waktu dari masalah penghentian dan kemudian mulai membangun . (Tidak ada mesin universal di sini) Mesin universal digunakan untuk menyelesaikan versi waktu-terbatas dari masalah penghentian dalam jumlah waktu yang lebih besar. $K$ $¬KK$

— jmad
sumber

Untuk f (n) yang tidak konstan.

— Yonatan N

0

"Jika bukan karena masalah penghentian, apakah mesin Turing universal berguna dalam argumen diagonal?"

Teorema Rice pada dasarnya adalah generalisasi diagonalisasi terhadap mesin Turing. Ini menunjukkan bahwa sama sekali tidak ada properti tentang mesin Turing yang Anda dapat memutuskan untuk semua mesin Turing dengan algoritma tunggal kecuali properti itu berlaku untuk semua mesin Turing atau tidak ada mesin Turing. Perhatikan fakta bahwa properti yang menahan semua mesin Turing atau tidak ada mesin Turing mencegah objek diagonalisasi dari menjadi mesin Turing, oleh karena itu ia tidak ada dalam daftar di tempat pertama untuk menentang keputusan tentang properti tersebut. Memang ini satu - satunyahal yang mencegah objek diagonalisasi dari berada di daftar dan bertentangan dengan keputusan tentang properti, yang semua properti mesin Turing tidak dapat diputuskan. Pola objek diagonalisasi ini yang perlu menjadi anggota dari daftar hal-hal yang Anda coba untuk membuat keputusan tentang, namun meniadakan keputusan, adalah abstraksi kritis yang teorema Lawvere (dirujuk dalam tautan dalam jawaban Suresh) menangkap untuk sepenuhnya menggeneralisasikan gagasan diagonalisasi. Sekarang, karena kita tahu dari pengalaman bahwa hampir setiap diagonalisasi tampaknya memiliki kesamaan sifat yang mengarah pada beberapa hasil yang sangat penting dalam logika matematika, yang membuat teorema Lawvere menjadi alat yang menarik.

— bungkuk
sumber