Kapan gabungan dua bahasa reguler tidak ambigu?

16

Diberikan bahasa dan , katakanlah bahwa gabungan tidak ambigu jika untuk semua kata , ada tepat satu dekomposisi dengan dan , dan ambigu sebaliknya. (Saya tidak tahu apakah ada istilah yang mapan untuk properti ini — hal yang sulit untuk dicari!) Sebagai contoh sepele, gabungan dari dengan dirinya sendiri adalah ambigu ( ), tetapi gabungan dengan dirinya sendiri tidak ambigu. $A$ $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

Apakah ada algoritma untuk memutuskan apakah gabungan dari dua bahasa reguler tidak ambigu?

— pertama
sumber

1

Gah, ini benar-benar masalah CS mahasiswa baru, bukan? Jujur, saya belum mencoba banyak; Saya berharap bahwa ada algoritma yang mapan untuk ini di suatu tempat dalam literatur dan saya tidak harus pergi menciptakan kembali roda. Saya menulis perangkat lunak di sini; Saya hanya mengikuti beberapa kursus CS (beberapa tahun yang lalu) jadi pada dasarnya saya mulai dari Wikipedia. Saya tahu tidak ada yang menyukai seseorang yang tidak ingin bekerja untuk jawaban mereka, jadi jika ada buku teks atau kertas atau sesuatu yang bisa Anda tunjukkan kepada saya alih-alih hanya memberikan saya algoritma, itu akan sangat membantu! Terima kasih!

— pertama

Saya menambahkan ini sebagai komentar karena, topiknya relatif tidak umum, tetapi mungkin dapat membantu Anda. Konsorsium Unicode memiliki beberapa proses untuk menentukan kesamaan antar bahasa. Saya telah membaca tautan yang sangat informatif di situs mereka, tetapi seumur hidup saya tidak dapat menemukannya hari ini untuk menjawabnya. Jika Anda memiliki waktu untuk penelitian ini di sini adalah FAQ halaman mereka unicode.org/faq

— htm11h

10

Petunjuk: Mengingat DFA untuk dan , buatlah NFA yang menerima kata-kata dalam memiliki setidaknya dua dekomposisi yang berbeda. NFA melacak dua salinan NFA standar untuk (dibentuk dengan menggabungkan DFA untuk dan dengan transisi ), memastikan bahwa peralihan dari ke terjadi pada dua titik yang berbeda. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Yuval Filmus
sumber

Terima kasih atas petunjuknya! Jadi jika saya mengerti, saya bisa membuat NFA untuk kata-kata yang ambigu dalam

dan kemudian menguji robot itu untuk kekosongan. Bagian yang sulit tampaknya adalah "memastikan bahwa peralihan dari

ke

terjadi pada dua titik yang berbeda". Saya tidak yakin bagaimana melakukan itu selain mengambil produk silang (?) Dari dua

DFA dan menghapus semua status produk (

terminal,

terminal) - saya menunggu, saya khawatir bahwa transisi dari

NFA ke

DFA akan kacau dengan gagasan

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -terminal. Kedengarannya, um, tidak efisien; Adakah algoritma yang diketahui cocok untuk perangkat lunak?

— pertama

Ya, itu tidak terdengar terlalu efisien, meskipun selalu ada opsi untuk melakukannya dengan cara yang cerdas. Saya tidak mengetahui adanya algoritma khusus untuk masalah ini, tetapi mungkin ada.

— Yuval Filmus

7

Diperbarui (terima kasih kepada Yuval Filmus).

Diberi dua bahasa dan dari , misalkan $X$ $Y$ $A^*$ Saya mengklaim bahwatidak ambigu jika dan hanya jika bahasakosong.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

Bukti . Misalkan adalah ambigu. Kemudian ada sebuah kata yang memiliki dua dekomposisi lebih , mengatakan , di mana dan . Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi bahwa adalah awalan , yaitu, $XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ untuk beberapa . Oleh karena itu , di mana . Jadi . $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

Misalkan sekarang mengandung beberapa kata kosong . Kemudian ada dan sedemikian sehingga dan . Maka $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ $z$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_2 = x_1z$ $y_2 = zy_1$ dan karenanya produk adalah ambigu. $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ $XY$

Jika dan adalah teratur, maka keduanya dan teratur dan dengan demikian juga teratur (lihat jawaban Yuval untuk otomat yang menerima bahasa ini). $X$ $Y$ $X^{-1}X$ $YY^{-1}$ $X^{-1}X \cap YY^{-1}$

— J.-E. Pin
sumber

Bagaimana jika

adalah kata kosong?

z

$z$

— Yuval Filmus

Ups. Saya memperbarui.

— J.-E.