Mengingat komputer yang cepat dan lambat, pada ukuran apa komputer cepat yang menjalankan algoritma lambat mengalahkan komputer lambat yang menjalankan algoritma cepat?

Sumber pertanyaan ini berasal dari program sarjana yang saya ikuti, yang mencakup pengantar analisis algoritma. Ini bukan untuk pekerjaan rumah, melainkan pertanyaan yang diajukan di CLRS.

Anda memiliki mesin yang berjalan lambat $x$ MIPS, dan mesin cepat berjalan di $y$ MIPS. Anda juga memiliki dua algoritma dari kelas yang sama, tetapi kompleksitas waktu berjalan yang berbeda: satu algoritma "lambat" berjalan pada sedangkan algoritma "cepat" berjalan pada . $T(n) = c_1n^2$ $T(n) = c_2n \log n$

Anda menjalankan algoritma lambat pada mesin cepat, dan algoritma cepat pada mesin lambat. Apa nilai terbesar dari n sehingga mesin cepat yang menjalankan algoritma lambat mengalahkan mesin lambat yang menjalankan algoritma cepat?

Solusi saya sejauh ini:

Temukan himpunan semua sehingga mana adalah bilangan alami. $n$

\frac{c_{2} n \log n}{x} > \frac{c_{1} n^{2}}{y}

$\frac{c_2n\log n}{x} > \frac{c_1n^2}{y}$

n

$n$

Ini adalah pekerjaan saya sejauh ini:

{n : \frac{c_{2} n \log_{2} n}{x} > \frac{c_{1} n^{2}}{y}, n \in N} = {n : n < \frac{c_{2} y}{c_{1} x} \log_{2} n, n \in N}

$\{n : \frac{c_2 n \log_2 n}{x} > \frac{c_1 n^2}{y}, n \in \mathbb{N}\} = \{n : n < \frac{c_2 y}{c_1 x} \log_2 n, n \in \mathbb{N}\}$

Satu-satunya solusi yang terlintas dalam pikiran sekarang adalah dengan plug-n-chug semua nilai sampai saya menemukan n pertama di mana $n$

n < \frac{c_{2} y}{c_{1} x} \log (n)

$n < \frac{c_2y}{c_1x}\log(n)$

tidak lagi berlaku.

— DoggoDougal
sumber

Ini benar-benar lebih merupakan pertanyaan matematika daripada pertanyaan tentang ilmu komputer. Jika Anda mengganti

n

$n$ dengan

x

$x$ maka Anda memiliki persamaan transendental atas real, yang Anda tidak dapat benar-benar mereduksinya menjadi solusi bentuk-tertutup

x

$x$ . Setelah Anda menemukan

x

$x$ , jawabannya adalah

x

$x$ dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Dengan kata lain, "plug-n-chug" atau "tebak-dan-periksa" sama baiknya dengan yang dapat Anda lakukan dalam kasus umum. Ini biasanya bermanifestasi sebagai metode grafis atau numerik.

— Patrick87

Pertimbangkan ketidaksetaraan terakhir Anda:

$\qquad \displaystyle n < \frac{c_2y}{c_1x}\log(n)$

Sekarang, $C\log n$ dengan $C = \frac{c_2y}{c_1x}$ adalah fungsi cekung . Karena itu, ada paling banyak dua persimpangan, dan hanya satu di antaranya yang menarik untuk Anda; yaitu, selesaikan

$\qquad \displaystyle n = C\log(n)$

dan cari tahu algoritma mana yang lebih cepat di interval mana dengan hanya menghitung nilai fungsi masing-masing di beberapa titik dalam interval masing-masing.

Memang benar bahwa menyelesaikan kesetaraan ini secara eksplisit sulit / tidak mungkin. Untuk beberapa perbaikan $C$ , aljabar komputer memberi Anda ekspresi dalam fungsi yang terkenal; persimpangan (nyata) yang menarik ternyata berada di

$\qquad \displaystyle n = e^{-W_{-1}(-\frac{\ln 2}{C})}$

jika $C \geq e \ln 2$ , dengan $W_k$ yang analisis lanjutan dari fungsi produk log . Fungsi ini tidak memiliki bentuk tertutup yang bagus, tetapi dapat dievaluasi secara numerik untuk diberikan $C$ ; misalnya, Anda dapatkan $\approx 116,74$ untuk $C=17$ .

— Raphael
sumber

Hanya memastikan: apakah Anda mengartikan persamaan saya sebagai memiliki log natural atau log-base-2? Saya harus mengklarifikasi bahwa setiap instance log (n) adalah dari basis 2, dan akan memodifikasi pertanyaan dengan tepat.

— DoggoDougal

Di CS, kami biasanya menggunakan

\log = \log_{2}

$\log = \log_2$ , sedangkan ahli matematika berasumsi

\log = \ln

$\log = \ln$ . Karena itu, tempat saya gunakan

\log

$\log$ itu ke pangkalan

2

$2$ , pengecualian dicatat. Di sinilah (mungkin) di mana

\ln 2

$\ln 2$ berasal dari dalam hasil.

— Raphael