Pada “Tinggi Rata-Rata Pohon Pesawat yang Ditanam” oleh Knuth, de Bruijn dan Rice (1972)

Saya mencoba untuk mendapatkan makalah klasik dalam judul hanya dengan cara dasar (tidak ada fungsi menghasilkan, tidak ada analisis kompleks, tidak ada analisis Fourier) walaupun dengan presisi jauh lebih sedikit. Singkatnya, saya "hanya" ingin membuktikan bahwa tinggi rata-rata $h_n$ dari sebuah pohon dengan $n$ simpul (yaitu, jumlah maksimum simpul dari akar ke daun) memuaskan $h_n \sim \sqrt{\pi n}$ .

Garis besarnya adalah sebagai berikut. Misalkan adalah jumlah pohon dengan tinggi kurang dari atau sama dengan (dengan konvensi untuk semua ) dan jumlah pohon node dengan tinggi lebih besar dari atau sama dengan (yaitu, ). Kemudian $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ , di mana adalah jumlah terbatas Diketahui bahwa $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

, untuk himpunan pohon - pohon umum dengan

node berada dalam penimbunan dengan himpunan pohon biner dengan

node, dihitung dengan angka Catalan.

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$

n

$n$

n - 1

$n-1$

Oleh karena itu, langkah pertama adalah menemukan dan kemudian istilah utama dalam ekspansi asimptotik . $B_{nh}$ $S_n$

Pada titik ini penulis menggunakan kombinatorik analitik (tiga halaman) untuk mendapatkan

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Upaya saya sendiri adalah sebagai berikut. Saya menganggap bijih antara pohon dengan node dan jalur monoton pada kotak persegi dari hingga yang tidak melintasi diagonal ( dan terbuat dari dua jenis langkah: dan ). Jalur ini kadang-kadang disebut jalur Dyck atau kunjungan . Saya dapat mengekspresikan sekarang $n$ $(n-1) \times (n-1)$ $(0,0)$ $(n-1,n-1)$ $\uparrow$ $\rightarrow$ dalam hal lattice paths: itu adalah jumlah lintasan Dyck dengan panjang 2 (n-1) dan tingginya lebih dari atau sama dengan. (Catatan: sebatang pohon dengan ketinggianberada di bijection dengan lintasan Dyck dengan ketinggian) $B_{nh}$ $h$ $h$ $h-1$

Tanpa kehilangan keumuman, saya berasumsi bahwa mereka mulai dengan (karenanya tetap di atas diagonal). Untuk setiap jalur, saya menganggap langkah pertama melintasi garis , jika ada. Dari titik di atas, sepanjang perjalanan kembali ke titik asal, saya mengubah menjadi dan sebaliknya (ini adalah cerminan dari garis ). Menjadi jelas bahwa jalur yang ingin saya hitung ( ) berada dalam penyatuan dengan jalur monoton dari hingga $\uparrow$ $y = x + h - 1$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ yang menghindari batas dan . (Lihatgambar.) $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

Dalam buku klasik Lattice Path Counting and Applications oleh Mohanty (1979, halaman 6) rumus menghitung jumlah jalur monoton dalam kisi darihingga, yang menghindari batasdan, dengandan. (Hasil ini pertama kali didirikan oleh ahli statistik Rusia pada 50-an.) Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan asal baru di

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

, kami memenuhi ketentuan rumus:

dan titik tujuan (sudut kanan atas) sekarang

. Kemudian

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$ which, in turn, is equivalent to

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$ The difference with the expected formula is that I sum over the odd numbers (

2 k + 1

$2k+1$ ), instead of all positive integers (

k

$k$ ).

Any idea where the problem is?

— Christian
sumber

You say you want to use only elementary things, yet you use a result from a book. How does Mohanty derive the identity you use?

— Raphael

I define in the first sentence what I mean by "elementary": no generating functions, no complex analysis, no Fourier analysis. In his book, Mohanty uses elementary means to derive that formula, more precisely, the principles of reflection and inclusion-exclusion on lattice paths. (I use the former above.) If you insist, I will add his proof at the end of the question.

— Christian

Not at all, just wanted to make sure you were not breaking your rule yourself.

— Raphael

It's very weird to me to see 'generating functions' listed as a non-elementary technique when analytical combinatorics is apparently considered elementary.

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$ seems like an almost inherently non-elementary value; do you have e.g. a comparable proof of the asymptotics of the central binomial coefficient to give a better sense of what you're looking for? I suspect the two are closely related...

— Steven Stadnicki

Jalur monotonik dari $(−h,h)$ untuk $(n−1,n−1)$ Anda membangun hanya menghindari batas $y=x+2h+1$ sebelum mereka menyeberang $y=x+h$ untuk pertama kalinya. Dengan demikian rumus yang Anda gunakan tidak berlaku.

— FrankW
sumber