Apa kompleksitas waktu dari algoritma ini? Dan mengapa?

Saya terjebak dengan menganalisis kompleksitas waktu dari algoritma berikut:

def fun (r, k, d, p):
    if d > p:
        return r
    if d = 0 and p = 0:
        r <- r + k
        return r
    if d > 0:
        fun (r, k + 1, d - 1, p)
    if p > 0:
        fun (r, k - 1, d, p - 1)

Panggilan root akan menjadi fun (0, 0, n, n), dan nmerupakan ukuran masalah.

Saya kira itu: Relasi perulangan adalah $T(n, n) = T(n-1, n) + T(n, n-1)$, yang setara dengan , dan .$T(2n) = 2T(2n-1) \iff T(m) = 2T(m - 1)$$O(2^m) \iff O(4^n)$

Apakah analisis saya benar (saya tahu itu tidak terlalu lengkap dan tepat)? Jika memang ada cacat serius, tunjukkan atau tunjukkan saya bukti yang benar dan lengkap tentang kompleksitas waktu dari algoritma ini.

Dua argumen yang relevan dengan analisis asimptotik adalah $d$ dan $p$. Argumen-argumen ini (secara virtual) memuaskan$d,p \geq 0$ dan $d \leq p$(kita perlu mengocok logika dalam fungsi sedikit untuk mendapatkan ini). Di setiap titik dalam eksekusi, Anda mengambil pasangan saat ini$(d,p)$ dan kemudian secara rekursif memanggil fungsi dengan pasangan $(d-1,p),(d,p-1)$, menghindari pasangan yang membatalkan batasan yang disebutkan di atas.

Kita bisa menggambarkan pohon panggilan yang dihasilkan sebagai jalan mulai dari $(0,0)$. Setiap kali Anda mengurangi$p$, tambahkan / langkah. Setiap kali Anda mengurangi$d$, tambahkan \ langkah. Kondisi$d \leq p$menjamin bahwa Anda tidak pernah pergi di bawah sumbu X. Selain itu, Anda memiliki "anggaran" sebesar$n$dari setiap langkah. Jumlah total daun di pohon panggilan ini persis nomor Catalan$\binom{2n}{n}/(n+1) = \Theta(4^n/n^{3/2})$, dan ini memberi kita batas bawah pada waktu menjalankan fungsi.

Untuk mendapatkan batas atas, perhatikan bahwa dalam perjalanan ke setiap daun yang kita lewati $2n$ node, dan ini memberi batas atas $2n$ lebih besar dari batas bawah, yaitu, $\Theta(4^n/\sqrt{n})$.

Kami memiliki batas bawah $\Omega(4^n/n^{3/2})$ dan batas atas $O(4^n/\sqrt{n})$. Apa asimptotik yang tepat? Mereka tumbuh seperti jumlah total jalur yang tidak melewati sumbu X yang paling banyak$n$langkah di setiap arah. Dengan menggunakan teorema surat suara Bertrand kita bisa mendapatkan ungkapan yang tepat untuk ini:

$$\sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \frac{p-d+1}{p+1} \binom{p+d}{p}.$$ Dengan demikian tetap untuk memperkirakan jumlah ini secara asimptotik: $$\sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p} - \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \frac{d}{p+1} \binom{p+d}{d} = \\ \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p} - \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p+1} = \\ \sum_{p=0}^n \binom{2p+1}{p+1} - \sum_{p=0}^n \binom{2p+1}{p+2} = \\ \sum_{p=0}^n \frac{1}{p+1} \binom{2p+2}{p} = \Theta\left(\sum_{p=0}^n \frac{4^p}{p^{3/2}}\right) = \Theta\left(\frac{4^n}{n^{3/2}}\right).$$

Kasus per kasus:

1. d> p : Waktu konstan
2. d = 0 ∧ p = 0 : Waktu konstan
3. d> 0 : Perhatikan bahwa d ≯ p, jadi kita memiliki 0 <d ≤ p, dan funberulang pada d-1 hingga d ≯ 0; sejak p> 0, ini adalah Linear dalam d + (kasus 4) .
4. p> 0 : Perhatikan bahwa d ≯ 0, jadi kita memiliki d ≤ 0 ≤ p (dengan d <p), dan funberulang pada p-1 hingga p ≯ 0; ini Linear dalam p + (salah satu dari kasus 1, 2, atau 5)
5. d ≤ p <0 : Tidak terdefinisi; Saya berasumsi ini adalah waktu yang Konstan

Dimulai dengan d = p = n> 0 hits case 3, yang diikuti oleh case 4. Jika n adalah bilangan bulat, case terakhir adalah 2, jika case terakhir adalah 5. Total waktu untuk kasus tersebut adalah d + p +1, atau 2n +1.