Kondisi planaritas untuk Planar 1-in-3 SAT

Planar 3SAT adalah NP-complete. Contoh planar 3SAT adalah instance 3SAT yang grafiknya dibuat menggunakan aturan berikut adalah planar:

tambahkan simpul untuk setiap dan $x_i$ $\bar{x_i}$
tambahkan simpul untuk setiap klausa $C_j$
menambahkan keunggulan untuk setiap pasangan $(x_i,\bar{x_i})$
tambahkan edge dari vertex (atau ) ke setiap vertex yang mewakili klausa yang berisi itu $x_i$ $\bar{x_i}$
menambahkan tepi antara dua variabel berturut-turut $(x_1,x_2),(x_2,x_3),...,(x_n,x_1)$

Secara khusus, aturan 5 membangun "tulang punggung" yang membagi klausa di dua wilayah yang berbeda.

Planar 1-in-3 SAT juga NP-complete.

Tetapi untuk planar 1-in-3 SAT, apakah kondisi planaritas didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada Planar 3SAT? Secara khusus, dapat kita asumsikan bahwa ada tulang punggung yang link variabel ? $(x_i,x_{i+1})$

— Vor
sumber

Untuk jaga-jaga jika ada orang yang akan mencari kertas di mana mereka menunjukkan kekerasan Planar 1-in-3SAT (versi kurang kuat). Berikut ini tautannya: dl.acm.org/citation.cfm?doid=1137856.1137859 Dari buktinya mereka dapat melihat bahwa persyaratan "tulang punggung" mudah dipenuhi.

— sud03r

Ya kamu bisa. Sebenarnya Anda bahkan dapat menunjukkan bahwa sesuatu yang lebih kuat itu benar. Masalahnya tahu sebagai Planar Positif 1-in-3-SAT adalah NP-lengkap seperti yang ditunjukkan oleh Mulzer dan Rote .

Dalam versi 1-in-3-SAT ini, Anda perlu untuk setiap formula input itu

Anda memiliki tiga variabel per klausa, tidak ada satupun yang dinegasikan
grafik rumus adalah planar, bahkan jika Anda menambahkan "tulang punggung" antara simpul variabel

Pengurangannya dari Planar 3-SAT .

— A.Schulz
sumber