Dijkstra mendukung solusi dengan jumlah tepi terkecil jika beberapa jalur memiliki bobot yang sama

Anda dapat memodifikasi grafik apa pun sehingga Dijkstra's menemukan solusinya dengan jumlah tepi minimal sebagai berikut: $G$

Lipat gandakan setiap bobot tepi dengan angka $a$ , lalu tambahkan $1$ ke bobot untuk menghukum setiap tepi tambahan dalam solusi, yaitu

$w'(u,v)=a*w(u,v)+1$

Ini tidak bekerja untuk semua nilai $a$ ; $a$ perlu setidaknya $x$ agar ini berfungsi. Jika $a$ bukan angka minimum ini, itu mungkin tidak memilih jalur terpendek. Bagaimana cara menemukan nilai minimum ini $x$ ?

Ps. Ini dilakukan secara rekreasional, saya sudah selesai mengerjakan PR.

algorithms graph-theory shortest-path

— Kucing Unfun
sumber

Jika dua jalur memiliki bobot yang sama, jalur dengan tepi paling sedikit harus dipilih. Maaf. Saya melihat bahwa saya tidak menjelaskannya.

— The Unfun Cat

Anda juga bisa melakukannya dengan menambahkan ke semua bobot tepi, di mana , m = berat tepi minimum, e = jumlah tepi di jalur terpendek (atau bahkan keseluruhan, jika Anda tidak tahu jalur terpendek panjangnya) .

ϵ

$\epsilon$

ϵ < m / e

$\epsilon < m/e$

— BlueRaja - Danny Pflughoeft

Berita gembira yang menarik, terima kasih. Harus melihatnya.

— The Unfun Cat

Diberikan grafik , kami mendefinisikan dengan mana untuk beberapa seperti yang diusulkan dalam komentar pertanyaan. $G = (V,E,w)$ $G'=(V,E,w')$ $w'(e) = aw(e) + 1$ $a = |E| + \varepsilon$ $\varepsilon \geq 0$

Lema
Misalkan jalan di dengan biaya , yaitu . Kemudian, memiliki biayadalam , yaitu. $P$ $G$ $C$ $w(P)=C$ $P$ $aC + |P|$ $G'$ $w'(P) = aC + |P|$

Lemma mengikuti langsung dari definisi . $w'$

Panggil hasil Dijkstra pada , yang merupakan jalur terpendek di . Asumsikan bukanlah jalur terpendek dengan tepi paling sedikit (antara semua jalur terpendek) di . Ini bisa terjadi dalam satu dari dua cara. $G'$ $P$ $G'$ $P$ $G$

$P$ bukan jalur terpendek di . Lalu, ada jalur dengan . Sebagai , ini berarti juga dengan lemma with di atas. Ini bertentangan dengan yang dipilih sebagai jalur terpendek dalam . $G$
$P'$ $w(P') < w(P)$ $|P|,|P'| \leq |E| \leq a$ $w'(P') < w'(P)$ $P$ $G'$
$P$ adalah jalur terpendek tetapi ada jalur terpendek dengan tepi lebih sedikit.
Lalu, ada jalan terpendek lain - yaitu - dengan. Ini menyiratkan bahwa oleh lemma di atas, yang sekali lagi bertentangan bahwa adalah jalur terpendek dalam . $P'$ $w(P) = w(P')$ $|P'| < |P|$ $w'(P') < w'(P)$ $P$ $G'$

Karena kedua kasus telah menyebabkan kontradiksi, memang jalur terpendek dengan tepi paling sedikit dalam . $P$ $G$

Itu mencakup setengah dari proposisi. Bagaimana, yaitu dengan ? $a < |E|$ $a = |E| - \varepsilon$ $\varepsilon \in (0,|E|)$

Sebenarnya, kami juga membutuhkan atau semua beban di adalah bilangan bulat. Kalau tidak, tidak menyebabkan bobot dalam setidaknyaselain. Ini bukan pembatasan, meskipun; kita selalu dapat mengukur dengan faktor konstan sehingga semua bobot bilangan bulat, dengan asumsi kita mulai dengan bobot rasional. $a$ $G$ $w(P') < w(P)$ $G'$ $|E|$ $w$

— Raphael
sumber

Saya belum dapat menemukan bukti bahwaadalah terkecil yang ini bekerja. Saya akan memikirkannya lagi.

a = | E |

$a = |E|$

a

$a$

— Raphael