Dengan adanya fungsi yang dapat dihitung, apa kondisi untuk komputabilitas dari fungsi terbalik?

Jika dapat dihitung dan memiliki kebalikan, dalam kondisi apa juga dapat dihitung? Saya tidak dapat menemukan itu di buku teks, dan googling mendapatkan beberapa saran samar tentang bijective, tetapi saya tidak dapat menemukan teorema yang dinyatakan dengan jelas untuk efek itu. Begitu saja, bijective tampaknya cukup tetapi tidak perlu, misalnya, tidak surjektif tetapi secara komputabel tidak dapat dibalikkan (untuk invers fungsi total, gunakan domain terangkat \ mathbb {N} _ \ pel dan petakan angka ganjil kembali ke \ pelaku ). Selain jawaban, referensi ke teorema / bukti akan lebih bagus, atau hanya nama teorema yang relevan sehingga saya bisa berhasil google itu.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$f^{-1}$$f(n)=2n$$\mathbb{N}_\perp$$\perp$

Pertanyaan ini muncul di benak saya tentang pemikiran berikut (yang saya juga tidak dapat temukan di buku teks atau google tentang apa pun). Perbedaan antara computable dan tidak, dibandingkan keduanya computable, tampaknya agak analog dengan perbedaan re versus recursive. Bisakah itu diungkapkan dengan keras?$f$$f^{-1}$

Sebagai contoh, perhatikan , dengan yang (Scott- atau Lawson-kontinyu) fungsi ruang domain dari beberapa domain . Biarkan menjadi elemen kompak , , di mana , semuanya dengan cara biasa. Kemudian dapat dihitung jika enumerasi adalah re Demikian pula, dapat dihitung jika enumerasi adalah re Jadi jika keduanya dapat dihitung, artinya kedua enumerasi kembali, maka itu Sepertinya (bagi saya setidaknya) agak analog dengan rekursif.$f:E\rightarrow E$$f\in D=[E\rightarrow E]$$E$$K_D$$D$$\downarrow f=\lbrace g\in K_D\mid g\sqsubseteq f\rbrace$$f=\sqcup\downarrow f$$f$$\downarrow f$$f^{-1}$$\downarrow f^{-1}$

Tentu saja, itu tidak sama dengan rekursif, karena jika adalah enumerasi dari , dan juga untuk , lalu (setidaknya saya rasa tidak demikian). Tetapi tampaknya ada semacam ide analog yang mencoba mengekspresikan dirinya. Jadi bagaimana Anda bisa merumuskan hal semacam itu dengan ketat? Di antara langkah-langkah pertama, saya pikir Anda ingin mengekspresikan dalam istilah , tapi saya tidak melihat bagaimana cara menetapkan pengaturan itu (saran bagaimana melakukan itu?).$\mathbb{N}_f\subseteq\mathbb{N}$$\downarrow f$$\mathbb{N}_{f^{-1}}$$\mathbb{N}_{f^{-1}}\neq\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}_f$$\mathbb{N}_{f^{-1}}$$\mathbb{N}_f$

Jadi, apakah ide ini juga terkenal dan dibahas? Buku teks atau referensi google (atau istilah pencarian yang bisa menggunakan google) akan bagus. Terima kasih.

Mari kita katakan bahwa fungsi yang dapat dihitung tidak dapat dibalik jika ada fungsi lain yang dapat dihitung yang pada input menemukan sedemikian rupa sehingga atau mengembalikan ketika tidak memiliki preimage.$f$$g$$y$$x$$f(x) = y$$\bot$$y$

Untuk definisi ini, seseorang dapat menunjukkan fungsi yang dapat dihitung $f$ tidak dapat dibalik jika dan hanya jika rentangnya dapat ditentukan, yaitu, kita dapat memutuskan apakah input yang diberikan memiliki preimage di bawah $f$.