Membalik matriks band

Saya memiliki matriks pita - matriks yang jarang, kuadrat, simetris yang strukturnya tampak seperti berikut: $N \times N$

Di sini, area di bawah garis-garis biru adalah elemen bukan nol; yang lainnya nol

Apakah ada algoritma untuk membalikkan jenis matriks yang sederhana namun lebih efisien daripada eliminasi Gaussian dan dekomposisi LU?

algorithms linear-algebra sparse-matrices

— rnels12
sumber

Matriks-matriks tersebut disebut matriks band (dan sejauh yang saya ketahui, mereka adalah motivasi asli untuk menemukan bandwidth grafik ), dan mungkin makalah ini mungkin merupakan titik awal yang berguna.

— G. Bach

@ G.Bach Terima kasih, saya akan melihat kertasnya. Bisakah Anda ceritakan kompleksitas komputasi metode ini?

— rnels12

Maaf, tidak tahu, googled selama satu atau dua menit tetapi dari abstrak sepertinya awal yang menjanjikan.

— G. Bach

Apakah Anda ingin membalikkannya, atau Anda ingin menyelesaikan sistem linear? Jawabannya mungkin yang terakhir, karena kebalikan dari matriks band biasanya padat. Pertanyaan tambahan: Apakah ada struktur untuk dieksploitasi?

— Nama samaran

BAIK. Alasan mengapa saya bertanya adalah bahwa dalam kebanyakan kasus, orang yang berpikir mereka ingin membalikkan matriks mungkin tidak. Either way, ini pertanyaan yang bagus!

— Nama samaran

Karena tidak ada komentar yang memberikan jawaban konkret, saya akan menuliskannya secara eksplisit di sini jika ada yang membutuhkannya (seperti yang saya lakukan).

Pertama, sayangnya, invers dari matriks terbatas-band adalah matriks penuh (tidak terbatas-band) secara umum, jadi hanya mengisi entri dari matriks invers akan mengambil $\Omega\left(n^2\right)$ . Jadi saya anggap Anda hanya ingin menyelesaikan sistem linear $A x = b$ .

Menggunakan algoritma dalam makalah ini , matriks band-terbatas umum $A$ ukuran $n \times n$ dengan bandwidth $k$ dapat diuraikan menjadi segitiga $k$ matriks-bandwidth $L$ dan $U$ di $O \left( k^2 n \right)$ waktu. Dari sana, $L U x = b$ dapat diselesaikan dengan cepat di $O(k n)$ waktu. Jadi secara keseluruhan, runtime akan menjadi $O\left(k^2 n\right)$ . Sebagai tindak lanjut, jika $k$ adalah konstan, itu berarti bahwa sistem dapat diselesaikan dalam waktu linier (sangat bermanfaat).

— chausies
sumber