Tidak Ada Naif Menetapkan Model Teori Kalkulus Lambda Polimorfik?

Dalam makalah Philip Wadler tentang Teorema untuk Bebas ia menyatakan dalam Bagian 2 tentang Parametrisitas itu

tidak ada model teori set-naif kalkulus lambda polimorfik

Dalam model set-theoretik naif jenis set dan fungsi adalah fungsi set-theoretik yang tampaknya masuk akal. Jadi mengapa dia mengatakan tidak ada model teori set-naif kalkulus lambda polimorfik?

functional-programming

— MK
sumber

OK, saya baru saja menemukan makalah ini: hal.inria.fr/inria-00076261/document . Aku harus membajaknya.

— MK

Makalah karya Reynolds itu memang kertas yang tepat untuk dibaca! Mengabaikan banyak detail yang diringkasnya menjadi: pertimbangkan data T = K ((T -> Bool) -> Bool). Lalu, Tdan ((T->Bool)->Bool)isomorfis. Jika mereka memiliki model himpunan di mana ->menunjukkan ruang fungsi (sebagai himpunan), yang terakhir memiliki kardinalitas yang lebih tinggi, sehingga tidak bisa menjadi isomorfik T. Jadi, dalam model, kita perlu menafsirkan secara ->berbeda - misalnya sebagai ruang fungsi kontinu .

— chi

Saya menjawab terlalu cepat dan menjawab pertanyaan yang salah. Maaf soal itu. Alasan kalkulus lambda polimorfik tidak memiliki model dalam teori himpunan naif tampaknya agak berbeda dari kalkulus lambda yang tidak diketik.

$\Pi_{S\in\mathrm{Set}}S$ $\times$ $\rightarrow$

Ini ternyata juga tidak mungkin, karena di satu sisi, agak mudah untuk membangun sebuah tipe $\bf 2$ sedemikian rupa sehingga interpretasi memiliki setidaknya 2 elemen, dan menunjukkan bahwa interpretasi $T=\Pi_X(X\rightarrow {\bf 2})\rightarrow{\bf 2}$ isomorfik untuk $(T\rightarrow {\bf 2})\rightarrow {\bf 2}$ , yang tidak mungkin untuk interpretasi biasa $\rightarrow$ oleh paradoks penyanyi biasa. Dalam hal ini agak mirip dengan bukti untuk kalkulus yang tidak diketik.

Perhatikan bahwa makalah selanjutnya, oleh Andrew Pitts, Polymorphism adalah Set Theoretic, Constructively , membalikkan kesimpulan ini agak dengan menunjukkan bahwa kontradiksi di atas hanya mungkin untuk dibangun dalam teori himpunan klasik , dan bahwa ada beberapa teori set konstruktif di mana polimorfisme dapat ditafsirkan dengan interpretasi fungsi ruang dan produk yang biasa. Terutama "produk besar" ini ada di Topos Efektif, perkenalan paling komprehensif yang diberikan oleh Phoa .

— cody
sumber