Mengisi tempat sampah dengan sepasang bola

Tempat sampah disebut penuh jika mengandung setidaknya bola. Tujuan kami adalah membuat sebanyak mungkin tempat sampah penuh. $k$

Dalam skenario yang paling sederhana, kita diberi bola dan mungkin mengatur mereka sewenang-wenang. Dalam hal itu, jelas yang terbaik yang bisa kita lakukan adalah memilih bin secara sewenang-wenang dan menempatkan bola di masing-masing dari mereka. $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

Saya tertarik dengan skenario berikut: kami diberi pasang bola. Kita harus meletakkan dua bola masing-masing pasangan di dua tempat sampah yang berbeda. Kemudian, musuh datang dan mengeluarkan satu bola dari masing-masing pasangan. Apa yang dapat kita lakukan untuk memiliki jumlah sampah penuh semaksimal mungkin setelah penghapusan? $n$

Strategi sederhana adalah: pilih pasang . Isi setiap bin-pair dengan ball-pair (setiap bin berisi bola, satu bola dari masing-masing pasangan). Kemudian, terlepas dari apa yang dihilangkan musuh kita, kita memiliki di setiap bin-pair setidaknya satu bin penuh. $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

Apakah kita memiliki strategi yang mencapai jumlah tempat sampah penuh yang lebih besar (lebih dari )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
sumber

Saya tidak percaya begitu

— Zach Saucier

n

$n$ diberikan dan diberikan? tergantung pada ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Evil

@ EvilJS dan diberikan, dan independen.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

Apakah tempat pemain semua nya pasang bola dan kemudian picks musuh bola ?, atau apakah tempat pemain sepasang bola dan kemudian musuh memilih salah satu dari pasangan itu dan kemudian pemain menempatkan pasangan berikutnya dan picks musuh satu dan seterusnya sampai tidak ada lagi pasang bola untuk ditempatkan?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia Pemain menempatkan semua n pasang bola, dan kemudian musuh mengambil bola.

— Erel Segal-Halevi

TL; DR - Tidak, tidak ada strategi yang lebih baik daripada strategi sederhana. Inilah ide utama buktinya. Ketika tidak ada cukup bola, akan ada "jalur bola" dari nampan ke nampan dengan paling banyak bola . Musuh dapat mengoper bola dari nampan penuh itu ke nampan kurang penuh di sepanjang jalan itu, yang dapat dilakukan berulang kali sampai jumlah sampah berkurang. $k$ $k-2$ $k$

Reformulasi dalam teori Grafik

Misalkan kita diberi grafik terbatas sederhana dengan fungsi . Kami mengatakan ada bola di tepi . Biarkan menjadi (ujung bertanda ujung) set . Jika memenuhi untuk setiap sisi , kita mengatakan bahwa adalah mendistribusikan. Setiap fungsi distribusi menginduksi fungsi, yang kami gunakan simbol yang sama, , . Kami mengatakan itu $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ bola ada di . Dengan , misalkan , jumlah simpul oleh . $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Teorema Erel-Apass) Untuk setiap graf terbatas sederhana dan , kami memiliki $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Bayangkan setiap simpul adalah sebuah nampan. Untuk setiap sisi , pasangan-bola dimasukkan ke dalam dan , yang masing-masing mendapatkan bola. Di antara pasangan-bola ini, musuh dapat mengambil bola dari dan bola dari . Hasil akhirnya sama seperti jika, mengingat semua kosong pada awalnya, untuk setiap sisi , bola dimasukkan ke dalamnya dan, kemudian, dan bola didistribusikan ke dan $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ masing-masing oleh musuh. Oleh karena itu, teorema Erel-Apass mengatakan bahwa untuk memastikan k-full bins setelah pemindahan musuh yang cerdas, setidaknya sepasang bola. $t$ $(2k-1)t$ Dengan kata lain, strategi optimal untuk memiliki jumlah maksimum yang mungkin tersisa dari sampah penuh sesungguhnya adalah "strategi sederhana", yang berulang kali mengisi pasangan sampah yang berbeda dengan bola-pasangan sampai kita tidak memiliki cukup bola untuk diulang. $2k-1$

Bukti teorema

Demi kontradiksi, misalkan dan menjadi sampel tandingan yang jumlah simpulnya adalah yang terkecil di antara semua sampel tandingan. Yaitu, ada mendistribusikan sedemikian sehingga minimal di antara semua dari fungsi mendistribusikan . Selanjutnya, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Biarkan . Biarkan . Jadi . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

Klaim satu: . $V_s\neq\emptyset$ Bukti klaim satu. Misalkan kosong. Mari kita juga menggunakan kembali sebagai fungsi dari ke sehingga untuk setiap .
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ Jadi harus ada titik sehingga .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Pertimbangkan pengaturan yang diinduksi dan , di mana , adalah grafik yang diinduksi dan di mana . Untuk fungsi -distribusi , kita dapat memperluasnya ke fungsi distribusi mana sama dengan pada sementara untuk setiap tepi berdekatan dengan . Perhatikan bahwa sejak $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . Kemudian Jadi, dan adalah counterexample yang jumlah simpul lebih kecil dari jumlah simpul di . Itu tidak bisa benar dengan asumsi kami tentang dan . Jadi klaim satu terbukti.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Untuk sembarang titik , tentukan -dapat dijangkau dari simpul jika ada jalur , sedemikian rupa sehingga . Biarkan . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

Klaim dua: $V_r = V$
Bukti klaim dua: Misalkan . Untuk setiap simpul dan , karena kita tidak dapat menjangkau dari , jika adalah sebuah edge, maka Pertimbangkan setup yang diinduksi dan , di mana , adalah grafik yang diinduksi dan di mana . Untuk setiap fungsi mendistribusikan , $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ di mana sama dengan di dan sama dengan di tepi lainnya. Perhatikan bahwa karena semua simpul dengan tidak kurang dari bola di dalam berada di . Kemudian Jadi, dan $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . Itu tidak mungkin benar dengan asumsi kami tentang dan . Jadi klaim dua terbukti.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Sekarang mari kita buktikan teorema.

Karena dan , ada jalur , dengan , dan . Mari kita membangun fungsi distribusi baru dari sehingga $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ dan menyetujui semua simpul kecuali dan , dan . Kita dapat menerapkan prosedur ini pada untuk mendapatkan . Mengulangi ini waktu untuk beberapa cukup besar , kita akan mendapatkan -distributing fungsi dengan . Namun, kami berasumsi bahwa adalah minimum di antara dari fungsi distribusi $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . Kontradiksi ini menunjukkan bahwa kita telah membuktikan teorema Erel-Apass.

— John L.
sumber

Saya membaca buktinya, terlihat bagus. Bahkan, jika saya mengerti dengan benar, itu bahkan lebih umum karena memungkinkan untuk grafik arbitrer - pertanyaan saya adalah kasus khusus di mana G adalah grafik lengkap. Apakah ini benar? Pertanyaan lain: di mana tepatnya buktinya menggunakan fakta bahwa m sedemikian sehingga Fk (m) minimal? Saya melihat bahwa ini hanya digunakan pada paragraf terakhir - apakah klaim sebelumnya dalam bukti benar tanpa fakta ini?

— Erel Segal-Halevi

Ya, teorema ini benar untuk setiap grafik karena ia mengatakan "untuk setiap graf (terbatas sederhana) G (V, E)". The minimalitas dari diperlukan untuk setiap klaim. Jika Anda mencari "counterexample", Anda akan menemukan tempat minimalitas digunakan.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.