Memecahkan T (n) = 2T (n / 2) + log n dengan metode pengulangan

Saya sedang memecahkan hubungan pengulangan. Hubungan perulangan pertama adalah

$T(n)=2T(n/2)+n$

Solusi yang satu ini dapat ditemukan oleh Master Theorem atau metode pengulangan pohon. Pohon perulangan akan seperti ini:

Solusinya adalah:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Selanjutnya saya menghadapi masalah berikut:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Buku saya menunjukkan bahwa dengan teorema master atau bahkan dengan beberapa pendekatan substitusi, perulangan ini memiliki solusi $\Theta(n)$ . Ini memiliki struktur yang sama seperti pohon di atas dengan satu-satunya perbedaan yang pada setiap panggilan melakukan $\log{n}$ bekerja. Namun saya tidak dapat menggunakan pendekatan di atas yang sama untuk masalah ini.

recurrence-relation

— anir
sumber

Istilah non-rekursif dari hubungan perulangan adalah pekerjaan untuk menggabungkan solusi dari subproblem. Level dari pohon perulangan (biner) Anda mengandung subproblem dengan ukuran , jadi Anda harus terlebih dahulu menemukan pekerjaan total pada level dan kemudian meringkas pekerjaan ini pada semua tingkat pohon. $k$ $2^k$ $\frac {n}{2^k}$ $k$

Misalnya, jika pekerjaannya adalah konstan , maka total pekerjaan pada level akan menjadi , dan total waktu akan diberikan dengan jumlah berikut: $C$ $k$ $2^k \cdot C$ $T(n)$

T (n) = \sum_{k = 1}^{{catatan}_{2} n} 2^{k} C = C (2^{{catatan}_{2} n + 1} - 2) = Θ (n)

$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$

Namun, jika pekerjaan tumbuh secara logaritmik dengan ukuran masalah Anda harus menghitung solusi secara akurat. Serialnya akan seperti berikut:

T (n) = {catatan}_{2} n + \underset{{catatan}_{2} n waktu}{\underset{⏟}{2 {catatan}_{2} (\frac{n}{2}) + 4 {catatan}_{2} (\frac{n}{4}) + 8 {catatan}_{2} (\frac{n}{8}) + . . . .}}

$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$

Ini akan menjadi jumlah yang cukup kompleks:

T (n) = {catatan}_{2} n + \sum_{k = 1}^{{catatan}_{2} n} 2^{k} {catatan}_{2} (\frac{n}{2^{k}})

$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$

Saya akan sementara menunjukkan dan menyederhanakan penjumlahan di atas: $m=\log_2{n}$

\sum_{k = 1}^{m} 2^{k} {catatan}_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = = \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} ({catatan}_{2} n - k) = = {catatan}_{2} n \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} - \sum_{k = 1}^{m} k 2^{k} = = {catatan}_{2} n (2^{m + 1} - 2) - (m 2^{m + 1} - 2^{m + 1} + 2)

$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$

Di sini saya menggunakan rumus untuk jumlah dari kalkulator aljabar simbolik online Wolfram | Alpha . Maka kita perlu mengganti kembali dengan : $\sum_{k=1}^{m}k2^k$ $m$ $\log_2{n}$

T (n) = {catatan}_{2} n + 2 n {catatan}_{2} n - 2 {catatan}_{2} n - 2 n {catatan}_{2} n + 2 n - 2

$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$

= 2 n - {catatan}_{2} n - 2 = Θ (n)

$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$

QED

— HEKTO
sumber

Sial, aku membuat kesalahan super bodoh dalam mengajukan pertanyaan. Sekarang dikoreksi. Namun sekarang saya tidak dapat memahami bagaimana barang-barang membatalkan satu sama lain dalam seri: .. Ini adalah seri yang Anda dengan benar? Mencoba dengan , saya mendapat . Apa yang salah di sini?

2^{0} \log_{2} \frac{n}{2^{0}} + 2^{1} \log_{2} \frac{n}{2^{1}} + 2^{2} \log_{2} \frac{n}{2^{2}} + . . . + 2^{\log_{2} n} \log_{2} \frac{n}{2^{\log_{2} n}} = \log_{2} n + 2 \log_{2} \frac{n}{2} + 4 \log_{2} \frac{n}{4} + . . . + n \log_{2} 1

$2^0\log_2\frac{n}{2^0}+2^1\log_2\frac{n}{2^1}+2^2\log_2\frac{n}{2^2}+...+2^{ \log_2{n}}\log_2\frac{n}{2^{ \log_2{n}}}=\log_2{n}+2\log_2{\frac{n}{2}}+4\log_2{\frac{n}{4}}+...+n\log_2{1}$

n = 8

$n=8$

\log_{2} 8 + 2 \log_{2} 4 + 4 \log_{2} 2 + 8 \log_{2} 1 = 3 + 4 + 4 = 11

$\log_2{8}+2\log_2{4}+4\log_2{2}+8\log_2{1}=3+4+4=11$

— anir

@anir - Gunakan kesetaraan

\log_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = \log_{2} n - k

$\log_2(\frac{n}{2^k}) = \log_2 n - k$

— HEKTO

Saya masih belum mengerti bagaimana seri itu runtuh menjadi : '¬ (Math-noob-sini ...

Θ (n)

$\Theta(n)$

— anir

@ anir - Saya akan memperluas jawaban saya

— HEKTO

@ HEKTO Jika Anda menyelesaikan equ di atas komentar, Anda masih mendapatkan nlog (n) ?? Saya sudah mencoba banyak. tolong bantu saya di sini

— roottraveller