Mungkinkah ada lemma pemompa konteks-sensitif?

Properti "memompa" (kata-kata dengan panjang tertentu menyiratkan keberadaan loop dalam mekanisme pendefinisian bahasa) diketahui ada untuk bahasa reguler dan bebas konteks dan beberapa lainnya (biasanya digunakan untuk menyangkal keanggotaan bahasa ke kelas tertentu) ).

Dalam diskusi seputar pertanyaan ini , jawaban Daisy menunjukkan bahwa tidak ada lemma yang memompa untuk bahasa yang peka terhadap konteks - karena mereka begitu kompleks.

Apakah itu benar - dapatkah ditunjukkan bahwa tidak ada jenis properti pemompaan - dan adakah referensi yang bagus untuk itu (atau menentangnya)?

formal-languages pumping-lemma context-sensitive

— lukas.coenig
sumber

Bisakah Anda memberikan definisi formal tentang "memompa lemma"? Jika tidak, tidak ada bukti seperti itu secara prinsip.

— Raphael

Mungkin orang dapat membantah teorema Parikh untuk bahasa-bahasa yang peka terhadap konteks, dan ini membuat kita berharap bahwa tidak ada lemma yang memompa menyerupai yang kita ketahui ada.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Apa maksudmu? Jelas bilangan prima peka konteks, dan tidak semilinear. Jadi Parikh tidak berlaku untuk konteks sensitif. Itu berarti bahwa "pemompaan linier" tidak berlaku. Seperti Raphael, saya penasaran apa metode lain yang dianggap memompa.

— Hendrik Jan

Anda benar, karena mengetahui apa sebenarnya "pemompaan" itu ... Saya berharap untuk beberapa saran ... Apa teorema Parikh untuk bahasa yang peka konteks ? Saya hanya menemukan satu untuk bahasa bebas konteks.

— lukas.coenig

@ lukas.coenig Tidak ada teorema Parikh untuk bahasa yang peka terhadap konteks, tetapi mungkin ada satu jika ada lemma pemompaan sederhana untuk bahasa yang peka terhadap konteks.

— Yuval Filmus

Berikut adalah beberapa bukti bahwa tidak ada lemma yang memompa untuk bahasa yang peka konteks.

Tentu saja, sebuah jawaban bergantung pada pertanyaan apa itu lemma yang memompa. Definisi masuk akal terlemah yang dapat saya pikirkan adalah ini: Kelas bahasa $\mathcal{C}$ memiliki lemma pemompaan jika ada predikat terner yang dapat ditentukan $P(\cdot,\cdot,\cdot)$ dimana $P(g,w,d)$ cara:

$g$ adalah kata yang mengkode bahasa $L(g)$ dari $\mathcal{C}$ (pikirkan: tata bahasa),
$w$ adalah kata dalam bahasa yang disandikan oleh $g$
$d$ adalah kata yang menyandikan perhitungan / derivasi yang dapat dipompa untuk $w$ (pikirkan: perhitungan NFA dengan status berulang atau pohon derivasi CFG dengan nonterminal berulang). Di sini, pumpable artinya: ada banyak kata dalam $L(g)$ .

Selain itu, kami ingin yang diberi bahasa $L$ di $\mathcal{C}$ dikodekan oleh $g$ , untuk setiap kata yang cukup panjang $w\in L$ , ada sebuah kata $d$ seperti yang $P(g,w,d)$ .

Misalnya, lemma pemompaan untuk bahasa biasa akan memunculkan predikat " $g$ mengkodekan $\varepsilon$ -NFA gratis dan $d$ menyandikan proses yang mengulangi status dan membaca $w$ ". Untuk penyandian yang sesuai, ini jelas memenuhi persyaratan di atas.

Sekarang, mari kita tunjukkan bahwa predikat semacam itu tidak ada untuk bahasa yang peka konteks.

Amati bahwa jika kelas bahasa memiliki lemma pemompaan, maka masalah infinity (Diberi tata bahasa, apakah itu menghasilkan bahasa yang tak terbatas?) Secara berulang dihitung: Diberikan pengkodean $g$ , kita dapat menyebutkan kata-kata $w$ dan $d$ dan periksa apakah $P(g,w,d)$ . Jika kami menemukan itu $w,d$ , kami menjawab 'ya', jika tidak, kami melanjutkan enumerasi.

Namun, kami menunjukkan bahwa masalah infinity untuk bahasa yang peka konteks tidak dapat dihitung secara rekursif. Ingat itu $\Pi_2^0$ adalah tingkat hirarki aritmatika yang secara ketat menyertakan bahasa yang berulang secara berulang. Karenanya, cukup untuk membuktikan:

Klaim : Masalah tak terhingga untuk bahasa yang peka konteks adalah $\Pi_2^0$ -lengkap.

Telah diketahui secara luas bahwa masalah tak terhingga untuk bahasa-bahasa yang berulang secara berulang adalah $\Pi_2^0$ -complete (lebih sering, seseorang menemukan rumusan bahwa masalah finiteness adalah $\Sigma_2^0$ -lengkap). Oleh karena itu, cukup untuk mengurangi masalah yang terakhir menjadi masalah tanpa batas untuk bahasa yang peka konteks.

Diberi TM $M$ , kami membuat LBA $A$ untuk bahasa

{u # v ∣ v is a shortlex-minimal accepting computation of M on input u} .

$\{u\#v \mid \text{$v$ is a shortlex-minimal accepting computation of $M$ on input $u$}\}.$ Kemudian,

L (A)

$L(A)$ iff tak terbatas

L (M)

$L(M)$ tidak terbatas, yang melengkapi bukti kami.

Pembaruan: Mencoba lebih jelas. Pembaruan: Contoh yang ditambahkan.

— Georg Zetzsche
sumber

Mari kita lanjutkan diskusi ini dalam obrolan .

— Raphael