Referensi tentang perbandingan antara komputer kuantum dan mesin Turing

Saya diberitahu bahwa komputer kuantum tidak lebih kuat secara komputasi daripada mesin Turing. Bisakah seseorang dengan ramah membantu memberikan beberapa referensi literatur yang menjelaskan fakta itu?

— Mok-Kong Shen
sumber

Anda tampaknya memiliki akun terdaftar di situs Stack Exchange lainnya. Anda harus mendaftarkan akun CS Anda dan mengaitkannya dengan yang lain (lihat pusat bantuan ). Antara lain, ini akan memungkinkan Anda berpartisipasi dalam obrolan dari CS.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

Jawaban:

Apa yang sebenarnya terjadi adalah apa pun yang dapat dihitung komputer kuantum, mesin Turing juga dapat menghitung. (Ini tanpa berkomentar sama sekali tentang berapa lama mesin Turing untuk menghitung fungsi dibandingkan dengan komputer kuantum.)

Ini sebenarnya tidak sulit dilihat, asalkan Anda memahami perhitungan kuantum. Untuk sirkuit kuantum di atas set gerbang biasa, misalnya, hasilnya diatur oleh distribusi probabilitas, yang ditentukan oleh koefisien dari matriks kesatuan. Matriks kesatuan hanyalah produk matriks dari gerbang, dan dapat dihitung - jika Anda cukup sabar - oleh komputer klasik. Jadi untuk kemampuan komputasi yang tipis (tidak seperti efisiensi), tidak ada keuntungan menggunakan komputer kuantum.

Seluruh tantangan yang timbul dari mekanika kuantum adalah untuk menentukan apakah koefisien tersebut dapat dihitung secara efisien , yang merupakan masalah yang lebih menuntut daripada apakah mereka dapat dihitung sama sekali .

— Niel de Beaudrap
sumber

Sementara pengetahuan pemula saya memberi tahu saya bahwa rangkaian kuantum mewakili transformasi matriks Hadamard, saya belum bisa melihat bagaimana kemungkinan pemrograman untuk melakukan perhitungan matriks arbitrer pada komputer klasik bisa menjadi pengganti secara fisik memiliki sirkuit kuantum. Sebagai contoh, buku saya mengatakan tentang menghasilkan angka acak sebagai berikut: 1. | x> <- | 0> 2. | x> <- H | x> 3. Ukur | x> Apa yang akan sesuai dengan langkah 3 terkait dengan pemrograman pada komputer klasik?

— Mok-Kong Shen

Matriks Hadamard (yang dinormalisasi dengan baik) hanyalah satu kemungkinan transformasi kesatuan. Untuk perhitungan Anda, kami dapat mengenali bahwa mesin Turing deterministik dapat menghitung distribusi probabilitas (0,5, 0,5) yang terdiri dari norma-kuadrat dari kolom pertama dari matriks Hadamard

, dan itu untuk mesin Turing acak (yang dapat melakukan membalik koin), kita bisa melangkah lebih jauh dan menghasilkan sampel dari distribusi probabilitas itu. Bagaimanapun, fungsi apa pun yang dihitung oleh sirkuit kuantum dengan kesalahan <1/2, sebuah mesin klasik juga bisa.

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Niel de Beaudrap

@ Mok-Kong Shen: dalam kasus itu tidak jelas dari komentar saya tentang inefisiensi atau kelambatan, yang biasa seharusnya bahwa komputer kuantum yang lebih komputasi yang kuat dalam arti mampu menghitung lebih cepat . Saya telah membahas fakta bahwa mereka tidak dapat menghitung hal-hal yang tidak dapat dihitung oleh komputer klasik (di mana saya mengabaikan gagasan "membalik koin" sebagai perhitungan).

— Niel de Beaudrap

$G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

$\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

$\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

Di sisi lain QTM secara sepele sekuat TM, dan oleh karena itu, kedua model tersebut setara.

EDIT karena komentar
Untuk menanyakan "komputer" mana yang lebih kuat, pertama-tama kita perlu menjelaskan apa artinya lebih "kuat secara komputasi". Dan diskusi semi-filosofis ini dimulai dengan pertanyaan

Apa itu komputasi ?

Apakah "memutar MP3" mengajukan perhitungan? Apakah mengeluarkan angka acak adalah perhitungan?

$x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

$f$ $B$

$A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

$y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

$f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

Dengan hal di atas, harus jelas bahwa memiliki probabilitas tidak mengubah kekuatan model, dan TM klasik hanya dapat menampilkan daftar output yang mungkin bersama dengan probabilitas untuk setiap output. ini persis apa yang terjadi ketika TM mengalikan matriks dan output vektor - vektor mewakili probabilitas masing-masing dan setiap output pengukuran yang mungkin.

^{$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— Ran G.
sumber

Saya dapat memprogram perhitungan matriks pada komputer klasik tetapi tidak tahu bagaimana menulis kode untuk mensimulasikan perhitungan kuantum. Saya akan tetap membutuhkan bit kuantum. Bit kuantum memiliki 2 nilai yang biasanya dilambangkan dengan alfa dan beta. Nilai apa yang harus saya gunakan? Lihat juga komentar saya untuk jawaban Niel de Beaudrap untuk kasus pembuatan bilangan acak.

— Mok-Kong Shen

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@Niel de Beaudrap: Tetapi ketika saya menulis kode untuk mensimulasikan penghitungan kuantum tertentu, misalnya generasi nomor acak yang saya sebutkan, saya perlu mengimplementasikan bit kuantum yang disimulasikan pada komputer klasik. Saya tidak tahu bagaimana menulis kode untuk melakukan itu tanpa mengetahui nilai-nilai koefisien ini.

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen: intinya adalah saat run-time, Anda tahu; dan masalahnya persis sama dengan pengambilan sampel dari distribusi probabilitas klasik yang ditentukan pada input, yaitu mengurangi masalah yang dipelajari dengan baik dalam pengambilan sampel acak. Metode Monte Carlo berlaku di sini, misalnya.

— Niel de Beaudrap

@ Mok-KongShen Tolong jangan gunakan komentar (terutama pada posting orang lain) untuk diskusi panjang. Pergi ke obrolan , baik di ruang umum untuk situs ini atau di ruang obrolan yang dibuat untuk tujuan tersebut.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

jawaban lain valid, hanya ingin menambahkan satu yang menekankan ini benar-benar pertanyaan yang sangat mendalam (sebagian besar masih terbuka / belum terselesaikan) di jantung banyak penelitian modern tentang pemisahan kelas kompleksitas dan kuantum vs komputasi klasik. keduanya setara secara fungsional sejauh komputer TM dan QM keduanya terbukti Turing lengkap ; ada beberapa cara untuk membuktikan ini.

tetapi kesetaraan dalam teori kompleksitas sangat bergantung pada kehalusan waktu dan ruang / efisiensi yaitu sumber daya untuk menghitung algoritma tertentu. dan ada juga sejumlah besar penelitian yang melihat "noise" dalam komputasi QM yang menganggap bahwa model-model tanpa suara teoritis mungkin tidak "nyata" atau dapat dicapai dalam praktik dan model nyata mungkin / akan memiliki noise yang signifikan. ada skema rumit untuk mengurangi kebisingan ini, dll .; ada beberapa komentar bagus tentang hal ini di berbagai posting di blog RJ Liptons misalnya mesin terbang abad ke-21

misalnya telah terbukti bahwa anjak piutang adalah dalam BQP, kelas algoritma kuantum yang berjalan dalam waktu P, oleh Shor dalam bukti terkenal bahwa pada saat itu juga meluncurkan sejumlah besar studi serius / penelitian ke dalam komputasi QM karena dramatisnya hasil.

$\stackrel{?}{=}$

Scott Aaronson adalah penulis / peneliti hebat tentang subjek dan telah menulis beberapa makalah yang dapat diakses oleh orang awam. lihat misalnya Batas komputer QM, komputasi SciAm atau QM menjanjikan wawasan baru, NYT .

— vzn
sumber

perhatikan, aram harrow adalah skeptis terkemuka dari masalah QM komputasi kebisingan. tempat lain yang bagus untuk memulai, blog RJ Lipton, gerakan abadi abad ke-21?

— vzn