Intuisi di balik kondisi | xy | ≤ p dalam memompa lemma untuk bahasa reguler

Ketika saya melihat bukti untuk memompa lemma , saya merasa bahwa saya sering kehilangan intuisi di balik kondisi | xy | ≤ p.

Apa sebenarnya alasan di balik kondisi ini? Semua literatur yang saya lihat adalah diam (tidak ada bukti, tidak ada diskusi, hanya pernyataan) tentang hal ini, atau menyatakan bahwa kita ingin pengulangan pertama terjadi tidak terlalu jauh dari awal .

Tetapi ketika ada ketidaksetaraan yang terlibat, dengan simbol dan operator yang sangat tepat, bukankah kita berharap ada bukti yang jelas di mana kita akhirnya mencapai kondisi ini?

Apa yang saya cari adalah,

1. Bukti matematis untuk kondisinya, | xy | ≤ p.
2. Intuisi di balik kondisi yang sama.

Untuk membuat string cukup lama kita memiliki ukuran string kondisi setidaknya p. Masalah spesifik saya adalah mengapa diperlukan | xy | ≤ p? Dan apa yang rusak jika | xy | ≤ p tidak benar?

( Apa alasan untuk kondisi kedua dari pemompaan lemma (s) ? , tidak menjawab pertanyaan saya dengan tepat. Pertanyaannya mungkin baik-baik saja, tetapi jawabannya hanya memberikan beberapa contoh tanpa intuisi yang dalam.)

Itu tidak diperlukan untuk buktinya. Anda dapat membuktikan lemma tanpa kondisi ini. Menambahkan kondisi ini membuat pernyataan lebih kuat dan lebih bermanfaat.

Intuisi di sini adalah jika DFA memilikinya $p$ menyatakan dan ada daftar $p+1$dari mereka, maka daftar tersebut harus berisi dua negara yang sama. String$x$ adalah bagian yang membentang dari awal input hingga kemunculan pertama dari status rangkap, dan string $y$membentang sampai kejadian kedua. Dengan mempertimbangkan pengulangan pertama kami dapat menjamin itu$|xy| \leq p$, sejak setelah membaca $p$ karakter yang telah kita lihat $p+1$ menyatakan.