Mengurangi aliran maks ke pencocokan bipartit?

Ada pengurangan terkenal dan elegan dari masalah pencocokan bipartit maksimum untuk masalah max-aliran: kita membuat jaringan dengan node sumber , node terminal , dan satu node untuk setiap item untuk dicocokkan, lalu tambahkan tepi yang tepat. $s$ $t$

Pasti ada cara untuk mengurangi aliran maksimum ke pencocokan bipartit maksimum dalam waktu polinomial, karena keduanya dapat dipecahkan secara individual dalam waktu polinomial. Namun, apakah ada pengurangan waktu polinomial "bagus" dari max-flow (dalam grafik umum) ke pencocokan bipartit maksimum?

reductions network-flow bipartite-matching

— templatetypedef
sumber

Apakah Anda bertanya tentang aliran jaringan dalam grafik bipartit, atau dalam grafik umum?

— DW

Saya sedang berpikir tentang aliran maks dalam grafik umum.

— templatetypedef

Pengurangan poly-time di dalam P membosankan: cukup selesaikan instance dan pilih salah satu dari dua instance hard-coded. Saya tahu itu bukan yang Anda inginkan, tetapi dapatkah Anda menentukan lebih tepatnya apa itu?

— Raphael

@ Raphael Paragraf terakhir dari pertanyaan saya menyinggung apa yang Anda sebutkan, karena ya, jelas ada pengurangan yang tidak menarik menurut pendapat Anda. Saya mencari reduksi yang lebih sejalan dengan reduksi dari pencocokan ke max-flow - transformasi struktural yang mempertahankan karakteristik penting. Pikirkan sesuatu di sepanjang garis reduksi yang dilakukan untuk membuktikan kekerasan NP daripada pengurangan sepele dari "memecahkan masalah dan menghasilkan contoh."

— templatetypedef

Bukankah pengurangan gadget biasanya bersifat linier? Itulah yang saya maksud: cobalah untuk menemukan kelas yang lebih terbatas yang mencegah kita dari "curang". (Tidak jelas apa yang dimaksud dengan "mempertahankan karakteristik esensial").

— Raphael

Jawaban:

Anehnya, tidak ada pengurangan seperti itu yang diketahui. Namun, dalam sebuah makalah baru-baru ini, Madry (FOCS 2013), menunjukkan bagaimana mengurangi aliran maksimum dalam grafik kapasitas-unit menjadi (secara logaritmik banyak contoh) maksimum pencocokan dalam grafik bipartit. $b$

$b$ $G=(V,E)$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b$ $|u|_1$ $m$ $b$ $O(m)$

$b$ $u_e$ $e$

— dwajc
sumber

-2

Jadi, inilah upaya menjawab pertanyaan Anda:

$p\in P$ $q \in Q$ $p\in P$ $q\in Q$ $G_{∗}$ $\infty$ $e \in E$ $f_{x}$ $G_{∗}$ $f_{x}$ $pq \in M$ $G_{∗}$ $\cup (Q \cap R)$ $|Q \cap R|$

Maksud saya ini adalah segalanya menurut saya bahwa Anda bertanya dalam pertanyaan dan ini adalah jawaban potensial saya :).

— marcincuber
sumber

Perhatikan bahwa Anda dapat menggunakan LaTeX di sini untuk mengeset matematika dengan cara yang lebih mudah dibaca. Lihat di sini untuk pengantar singkat.

— DW

Bisakah Anda mengklarifikasi bagaimana ini menjawab pertanyaan? Apakah Anda membuat algoritme untuk menyelesaikan masalah aliran maksimum dalam grafik umum, menggunakan algoritme untuk pencocokan bipartit maksimum? Jika demikian, apa algoritmanya? Sepertinya semua yang Anda lakukan menunjukkan bagaimana menyelesaikan masalah max-flow untuk kasus khusus grafik bipartit dalam kasus khusus di mana semua kapasitas adalah 1 . Tapi tentu saja masalah itu sepadan dengan pencocokan maksimum, seperti yang sudah dijelaskan pertanyaan, jadi saya tidak melihat bagaimana ini menambahkan sesuatu yang baru. Saya juga tidak melihat bagaimana teorema Konig atau cover vertex relevan.

— DW

Pengurangan dalam hal ini adalah kunci untuk menjawab set pertanyaan. Dan saya percaya ini persis apa yang dicari @templatetypedef. Saya tidak percaya bahwa pengurangan polinomial-waktu dari max-flow (dalam grafik umum) akan berbeda. Saya akan memikirkannya lagi dan mungkin menambahkan sesuatu yang ekstra tetapi saya tidak bisa melihat mengapa kita membutuhkan contoh yang berbeda untuk mendapatkan pengurangan yang lebih umum. Tapi poin yang adil.

— marcincuber

Ini adalah pengurangan buku teks standar DARI pencocokan bipartit UNTUK aliran maksimum. Pertanyaannya adalah meminta pengurangan arah yang berlawanan: DARI aliran maksimum KE pencocokan bipartit.

— JeffE