Bukti ketidakteraturan, berdasarkan kompleksitas Kolmogorov

Di kelas profesor kami menunjukkan kepada kami 3 metode untuk membuktikan ketidakteraturan:

1. Teorema Myhill – Nerode
2. Memompa Lemma untuk bahasa reguler
3. Bukti ketidakteraturan, berdasarkan kompleksitas Kolmogorov

Sekarang dua yang pertama, teorema Myhill-Nerode dan Pumping lemma, saya mengerti dengan baik dan saya juga bisa melakukan latihan dengan dua metode pertama. Tapi saya tidak mengerti yang ketiga. Definisi metode ketiga adalah sebagai berikut:

Membiarkan $\ L \subseteq (\Sigma_{bool})^*$menjadi bahasa biasa. Membiarkan$\ L_x=\{ y \in (\Sigma_{bool})^* | xy\in L \}$ untuk setiap$\ x \in (\Sigma_{bool})^*$. Lalu ada konstanta$\ c$, sedemikian rupa untuk semua $\ x,y \in (\Sigma_{bool})^*$

$\ K(y) \leq \lceil log_2(n+1)\rceil+c$

jika $\ y$ adalah kata ke-n dalam bahasa $\ L_x$.

Sekarang saya tidak mengerti bagaimana menggunakan teorema ini untuk membuktikan bahwa suatu bahasa tidak teratur, saya tidak begitu mengerti konsepnya. Kami menggunakan kompleksitas kolmogorov sebelumnya untuk menentukan panjang program komputer terpendek dari suatu objek. Bagaimana seseorang membuktikan ketidakteraturan dengan teorema ini? Dan apa pemikiran di baliknya?

Terima kasih banyak!

Setahu saya, ini bukan salah satu dari pendekatan "klasik" yang digunakan untuk mengkarakterisasi bahasa biasa.

Pendekatan ini dibahas dalam "Pendekatan Baru untuk Teori Bahasa Formal oleh Kompleksitas Kolmogorov" , oleh Ming Li dan Paul MB Vitanyi (lihat bagian 3.1).

Mereka memberikan beberapa contoh di mana orang dapat menggunakan pernyataan yang Anda sebutkan alih-alih menggunakan lemma pemompaan. Misalnya, membuktikan non-keteraturan$L$ dimana

$L=\left\{1^p|\text{p is prime}\right\}$.

Diberikan beberapa $x\in\Sigma^*$, $L_x=\left\{y| \hspace{1mm} xy=1^p \land \text{p is prime}\right\}$. Mari kita pilih$x=1^{p'}$ dimana $p'$ adalah $k$Perdana Membiarkan$y_1$ menjadi kata pertama di $L_x$. Jelas,$y_1=1^{p-p'}$ dimana $p$ adalah $k+1$utama. Menurut pernyataan yang Anda sebutkan,$K(y_1)\le c$ ($n=1$), untuk beberapa konstanta $c$ hanya bergantung pada $L$ (lihat kertas).

Karena ini berlaku untuk semua $x$, kita dapat mengikat kompleksitas Kolmogorov dari semua elemen di $S=\left\{y_1^x| x=1^p \text{ for prime $p$ } \land \text{$y_1^x$ is the first string in $L_x$}\right\}$ dengan konstanta yang sama $c$. Namun, kami melihatnya$S$ sebenarnya terdiri dari perbedaan antara bilangan prima berturut-turut, yaitu $S=\left\{1^{p_{k+1}-p_k} | k\ge 1\right\}$ dimana $p_k$ adalah $k$Perdana Karena kita tahu$S$ tidak dapat membatasi kompleksitas Kolmogorov (perbedaan utama menjadi sangat besar), ini berarti $L$ tidak bisa teratur.

Contoh lain yang sangat mudah adalah sebagai berikut: gunakan kompleksitas Kolmogorov untuk membuktikannya $L_{ww} = \{ww \mid w \in \{0,1\}^* \}$ tidak teratur.

Saya memberi Anda bukti yang sangat informal dengan harapan hal itu dapat membantu Anda lebih memahami peran kompleksitas Kolmogorov.

Ide kuncinya adalah sebagai berikut: automata terbatas $D$ (yang mengenali bahasa biasa $L_D$) memiliki jumlah "memori" terbatas; jadi berjalan pada string input$x = yz$ ketika telah "memproses" bagian pertama dari input $y$ keanggotaan $x$ di $L_D$ hanya bergantung pada kondisi saat ini dan bagian kedua dari input $z$.

Sekarang anggaplah itu $L_{ww}$teratur; maka ada DFA$D_{ww}$ yang mengenalinya.

Membiarkan $y$ menjadi string yang panjangnya tak tertandingi $|y| = n \gg |D|$

Untuk semua input $x=y z$, di akhir bagian pertama $y$, DFA $D_{ww}$ jelas akan berada di negara yang sama $q_i$, dan dengan hipotesis itu hanya akan menerima jika bagian yang tersisa $z$ adalah seperti itu $x = y z$ dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama (mis $yz = ww$); sebagai contoh

 Let y = 10110
       y   z
 x = 10110 0  >> rejected
 x = 10110 1  >> accepted  (w=101, |y|>|z|)
 x = 10110 00 >> rejected
 x = 10110 01 >> rejected
 ....
 x = 10110 10110 >> accepted  (w=10110,  |y|=|z| !!!)
 ....
 x = 10110 1101101 >> accepted (w=101101, |z|<|y|

Tetapi penting untuk memperhatikan bahwa hanya ada satu string $z$ panjangnya $|y|$ yang diterima ($z = y$).

Jadi diberikan deskripsi $D_{ww}$, negara $q_i$ pada akhir $y$, dan panjangnya $|y|$ kita dapat mensimulasikan perilaku $D_{ww}$ pada semua $2^{|y|}$ string dan melihat mana dari mereka itu menerima ... tetapi ia menerima persis $z=y$.

Begitu juga dengan program ukuran $\ell = |D_{ww}| + \log{i} + \log y + c$

($|D_{ww}|$ ruang diperlukan untuk menyimpan deskripsi $D_{ww}$, $\log i$ ruang untuk menyimpan $q_i$, $\log y$ ruang untuk menyimpan panjang $y$, $c$ ruang diperlukan untuk instruksi yang mensimulasikan DFA)

kita dapat "merekonstruksi" string $y$; tapi cukup besar$y$ kita punya $\ell < |y|$ yang merupakan kontradiksi karena $y$ tidak tertahankan.