Membuktikan bahasa yang terdiri dari semua string dalam beberapa bahasa sama panjangnya dengan beberapa string dalam bahasa lain biasa

8

Jadi saya sudah menggaruk-garuk kepala karena masalah ini selama beberapa hari sekarang. Diberi beberapa bahasa $A$ dan yang teratur, menunjukkan bahwa bahasa yang terdiri dari semua string dalam yang panjangnya sama dengan beberapa string dalam adalah bahasa biasa. $B$ $L$ $A$ $B$

Dalam bentuk persamaan:

L = {x \in A ∣ \exists y \in B s.t. | x | = | y |}

$L = \{x \in A \mid \exists y \in B \text{ s.t. } |x| = |y| \}$

Pikiran awal saya adalah mencoba dan menghasilkan beberapa DFA untuk kedua bahasa dan dan memetakan kedua negara satu sama lain dan mudah-mudahan mendapatkan rasio 1: 1 dengan cara itu saya dapat menghasilkan DFA baru yang membuktikan bahwa teratur. Tapi kemudian saya menyadari bahwa dan tidak harus lebih dari set simbol yang sama. $A$ $B$ $L$ $A$ $B$

Saya pikir cara yang benar untuk menyelesaikan ini adalah dengan menggunakan properti penutupan bahasa biasa, tapi saya tidak yakin bagaimana memulai / menggunakan properti untuk "panjang" string, bukan string sendiri.

Bisakah seseorang mengarahkan saya ke arah yang benar?

— Gembira
sumber

4

Ingat (atau buktikan) buktinya

$\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$ .

Apakah Anda melihat cara memodifikasi bukti untuk pengaturan Anda?

Abstraksi kesetaraan hal panjang, datang dengan konstruksi untuk otomat untuk

$\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

untuk diberikan, sewenang-wenang $L \in \mathsf{REG}$ lebih $\Sigma$ .

Apakah Anda melihat hubungannya?

Sekarang perhatikan itu $L = A \cap B_l$ .

— Raphael
sumber

3

Petunjuk: Mari kita asumsikan Anda tahu semua panjang kata yang berbeda di $B$ , $len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$ . Untuk saat ini, mari kita asumsikan itu terbatas.

Bisakah Anda menggunakan pengetahuan ini untuk membuat DFA? $A$ ?
^{(petunjuk: persimpangan, atau konstruksi "lintas produk")}

Apakah alfabet $B$ bahkan penting?

Selanjutnya, mungkin set panjang $len(B)$ tidak terbatas. Kemudian lihat pertanyaan ini yang harus menyelesaikan masalah itu juga.

— Ran G.
sumber

2

Cara properti penutupan, jadi tidak ada (eksplisit) automata. Bahasa reguler ditutup di bawah morfisme, morfisme terbalik, dan persimpangan (dengan bahasa reguler).

Membiarkan $\Sigma_A$ dan $\Sigma_B$ menjadi huruf dari $A$ dan $B$ . Membiarkan $h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$ menjadi morfisme yang memetakan setiap huruf $a\in\Sigma_X$ untuk $1$ . Kemudian $h_B(B) \subseteq \{1\}^*$ codes the length set of $B$ , and $h_A^{-1}(h_B(B))$ consists of (all) strings that are of the same length as strings in $B$ , but over the alphabet of $A$ . Finally, we observe that $L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$ .

Now for the bonus. It also works for context-free $A$ and $B$ . We need however an additional property: if $B$ is context-free then $h_B(B)$ is regular (!) as all 'unary' (=single letter alphabet) context-free languages are regular, a consequence of Parikh's theorem. Thus also $h_A^{-1}(h_B(B))$ is regular, and $L$ is context-free.

— Hendrik Jan
sumber