Jika (λ x. xx) memiliki tipe, maka apakah tipe sistemnya tidak konsisten?

Jika suatu sistem tipe dapat menetapkan suatu tipe λ x . x x, atau non-terminating (λx . x x) (λ x . x x), maka apakah sistem itu tidak konsisten? Apakah setiap tipe di bawah sistem itu dihuni? Bisakah Anda membuktikan salah?

lambda-calculus dependent-types

— Viktor Maia
sumber

Tentu saja, menetapkan tipe ke adalah tidak cukup untuk inkonsistensi: dalam sistem , kita dapat memperoleh $\lambda x. x\ x$ $F$

λ x . x x : (\forall X . X) \to (\forall X . X)

$\lambda x.x\ x:(\forall X.X)\rightarrow (\forall X.X)$

dengan cara yang sangat mudah (ini adalah latihan yang bagus!). Namun, tidak dapat diketik dengan baik dalam sistem ini, dengan asumsi -konsistensi aritmatika orde 2, karena ini menyiratkan bahwa semua istilah yang diketik dengan baik tersebut dinormalisasi. $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Selanjutnya, sistem konsisten. Ini mengikuti dari salah normalisasi, sebagai salah satu dapat menunjukkan bahwa setiap jangka tipe tidak bisa memiliki bentuk normal, atau argumen yang lebih sederhana, di mana masing-masing jenis ditugaskan set, baik atau dan dapat menunjukkan bahwa semua jenis diturunkan ditugaskan , dan ditugaskan (dan karena itu tidak dapat diturunkan). $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$ $\forall X.X$ $\varnothing$

Argumen terakhir dapat dilakukan dalam aritmatika orde pertama. Fakta bahwa dapat diketik dengan baik dalam sistem yang konsisten dapat dilihat sebagai agak mengganggu, dan merupakan konsekuensi dari ketidaktepatan sistem . Seharusnya tidak mengejutkan bahwa beberapa orang mempertanyakan kepercayaan sistem logika yang tidak dipercaya. Namun, sejauh ini tidak ada inkonsistensi yang ditemukan dalam sistem tersebut. $\lambda x.x\ x$

$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

Rincian lebih lanjut dapat ditemukan dalam jawaban saya untuk pertanyaan terkait: /cstheory//a/31321/3984

— cody
sumber

Dari membaca jawaban-jawaban itu saya melihat Anda jelas memiliki pemahaman yang baik tentang masalah ini. Saya ingin belajar lebih banyak, tetapi saya tidak yakin ke mana harus mencari. Saya telah membaca buku TAPL dan tidak menyebutkan semua itu, jadi saya tidak yakin ini adalah subjek Type Theory. Bisakah Anda menunjukkan kepada saya bidang CS / matematika apa yang terkait dengan pertanyaan ini, dan mungkin beberapa buku / artikel? Terima kasih banyak.

— MaiaVictor

Saya tidak yakin bahwa pertanyaan-pertanyaan ini adalah "bidang penelitian" semata , lebih seperti beberapa pertanyaan menyenangkan yang akan dijawab sejak lama jika ada upaya serius dari para ahli. Ini jelas merupakan subjek teori tipe, dan teori Pure Type Systems memiliki keunggulan membuat masalah menjadi pasti dan terbatas. Saya mungkin akan merekomendasikan kertas Coquand-Herbelin dari utas lainnya.

— cody

Pertanyaan serupa telah diajukan, misalnya di sini dan di sini . Saya akan menambahkan "lambda calculi with types" dari Barendregt ke daftar.

— cody

λ x : (\forall X . X) . Λ Y . x [Y \to Y] (x [Y])

$\lambda x : (\forall X . X) . \Lambda Y . x [Y \to Y] \; (x [Y])$

(\forall X . X) \to (\forall X . X)

$(\forall X . X) \to (\forall X . X)$

λ

$\lambda$

λ x : (\forall X . X) . x [(\forall X . X) \to (\forall X . X)] x

$\lambda x:(\forall X.X). x[(\forall X.X)\rightarrow(\forall X.X)]\ x$ jika kamu suka. Ketik inferensi tidak dapat diputuskan di sini, tetapi ini agak ortogonal terhadap pertanyaan. Hal-hal yang tentu saja tidak begitu jelas ketika Anda memiliki tipe dependen, tetapi ada versi misalnya CoC dengan kuantifikasi implisit (Miquel's Calculus of Implicit Constructions), sehingga pertanyaannya tetap relevan.

— cody