Kondisi untuk grafik bipartit menjadi planar dengan tidak ada pinggiran yang mengelilingi simpul

Sebuah graf bipartit adalah planar jika dan hanya jika ia tidak memiliki $K_{3, 3}$ atau anak di bawah umur.$K_5$

Saya mencari kondisi yang diperlukan atau / dan cukup untuk memungkinkan gambar planar tanpa tepi "berkeliling" set simpul. Ini adalah gambar yang memuaskan:

1. Semua simpul dari satu bagian digambar pada satu garis vertikal. Verteks dari bagian lain digambar pada garis vertikal paralel.
2. Tepi tidak berpotongan kecuali pada simpul.
3. Tepi semua dalam strip tak terbatas antara dua garis vertikal di titik 1.

Sebagai contoh, semua gambar di sini kecuali kanan bawah adalah non-contoh. Grafik kiri bawah dapat digambar ulang untuk memenuhi kondisi dengan menukar posisi Q dan R. Puncak dua grafik tidak dapat digambar ulang untuk memenuhi kondisi.

Dua grafik teratas adalah satu-satunya penghalang yang dapat saya temukan. Pertanyaan saya adalah:

1. Apakah masalah ini memiliki nama?
2. Adakah penghalang lain yang saya lewatkan?
3. Setiap petunjuk tentang bagaimana saya dapat membuktikan bahwa dua penghalang ini (bersama dengan apa pun yang saya lewatkan), sebagai anak di bawah umur tentu saja diperlukan dan cukup.

Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan outer-planar, $K_{2, 2}$ adalah outer-planar (dapat digambarkan sebagai bujur sangkar) tetapi tidak dapat ditarik untuk memenuhi kondisi yang saya sebutkan di atas.

Grafik Anda persis dengan grafik lebar jalur   atau, ekuivalennya, hutan yang masing-masing komponennya adalah ulat . Caterpillars memiliki dua karakterisasi yang relevan:$1$

• mereka adalah pohon-pohon di mana ada jalur tunggal yang berisi setiap titik derajat lebih dari  ;$1$

• mereka adalah pohon-pohon yang paling banyak memiliki dua tetangga bertetangga.

Lemma 1. Setiap ulat ada di kelas Anda.

Bukti. Biarkan menjadi ulat dan biarkan P = x 1 ... x ℓ menjadi jalur terpanjang yang mengandung setiap titik derajat  2 atau lebih. Perhatikan bahwa, secara maksimal, d ( x 1 ) = d ( x ℓ ) = 1 . Kita dapat menghasilkan gambar  G dengan terlebih dahulu menggambar  P sebagai zig-zag dan kemudian menambahkan derajat- 1 simpul yang berdekatan dengan  x i antara x i - 1 dan  x $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$ . $x_{i+1}$$\Box$

Lemma 2. Setiap grafik di kelas Anda asiklik.$G$

Bukti. Misalkan berisi siklus x 1 y 1 x 2 y 2 … x k y k x 1 dan anggap ia memiliki gambar dari formulir yang diperlukan. Wlog, x 2 di  atas  x 1 . Tetapi kita harus memiliki y 2 di atas  y 1 karena, jika tidak, garis x 1 y 1 dan  x 2 y 2 akan bersilangan. Dengan induksi, x i + 1  di atas $G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$ untuk semua i ∈ { 1 , … , k - 1 } dan juga untuk  y 's. Tetapi kemudian setiap baris y k x 1 harus meninggalkan daerah antara dua kolom simpul atau memotong setiap sisi lainnya dalam siklus. Ini bertentangan dengan asumsi kami bahwa grafik memiliki gambar yang tepat. $x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$$\Box$

Lemma 3. Setiap non-ulat yang terhubung tidak ada di kelas Anda.

Bukti. Biarkan menjadi grafik terhubung yang bukan ulat. Jika mengandung siklus, itu bukan di kelas Anda oleh Lemma  2 , jadi kami dapat menganggap itu adalah pohon. Jika bukan ulat, ia harus berisi simpul  x dengan tetangga yang berbeda y 1 , y 2 dan  y 3 , yang masing-masing memiliki derajat setidaknya   2 .$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

Misalkan kita memiliki gambar  dengan properti yang diperlukan. Wlog, y 2 di  atas  y 1 dan y 3 di  atas  y 2 . Biarkan z ≠ x menjadi tetangga  y 2 . Tepi  y 2 z harus melewati x y 1 atau  x y 3 , bertentangan dengan asumsi kami bahwa grafik memiliki gambar dari formulir yang diperlukan. $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

Dalil. Kelas grafik Anda adalah kelas hutan yang masing-masing komponennya adalah ulat.

Bukti. Biarkan menjadi grafik. Jelas, G  ada di kelas Anda jika, dan hanya jika, setiap komponen adalah: jika komponen apa pun tidak dapat ditarik seperti yang dipersyaratkan, seluruh grafik tidak bisa; jika setiap komponen dapat digambar sesuai kebutuhan, maka seluruh grafik dapat digambar dengan mengatur komponen satu di atas yang lain. Hasilnya sekarang diikuti oleh Lemmas 1 dan  3 . $G$$G$$1$$3$$\Box$

Akibat wajar. Kelas Anda dari grafik adalah kelas grafik yang tidak memiliki atau pembagian  K 1 , 3 sebagai umur.$K_3$$K_{1,3}$

Bukti. Ini adalah penghalang untuk jalur-lebar  $1$ . $\Box$

Ini pada dasarnya adalah penghalang yang Anda temukan: Anda perlu daripada K 4 karena yang terakhir akan menerima K 3 ke dalam kelas; pembagian K 1 , 3 adalah halangan kedua Anda.$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

Jadi, jawaban berikut adalah apa yang saya temukan:

Seperti yang telah Anda sebutkan, hanya ada dua kemungkinan kasus yang tidak dapat diatur ulang.

Kasus kedua adalah tidak ada representasi yang benar jika kita asumsikan graf bipartit, karena Wikipedia mendefinisikan graf bipartit sebagai: setiap tepi menghubungkan vertex di satu di V .$U$$V$

Sunting: Saya salah membaca grafik, maaf untuk itu.

Ini hanya menyisakan kita dengan lengkap, yang merupakan kondisi yang ingin Anda hindari. Sebaliknya, syarat yang memadai adalah grafik bipartit Anda tidak memiliki subgraf lengkap di dalamnya.$K_{2,2}$

Untuk membuktikan bahwa subgraph lain valid, Anda dapat membayangkan hal berikut:

Pertama, kami berasumsi bahwa kami tidak memiliki tepi dan mulai dengan tepi arbitrer . Dengan menambahkan tepi berikutnya, kami memiliki tiga kemungkinan kasus:$e$

Kasus pertama adalah bahwa kita memiliki simpul yang tidak memulai atau berakhir pada simpul yang sama dengan tepi pertama. Ini membuat kami tanpa masalah dan kami dapat terus memasukkan.

Kasus kedua adalah bahwa kita memiliki sisi yang - dalam perjalanannya - melintasi sisi lain yang sudah ada. Dalam hal ini kita harus menukar titik atau V 2 (yang dengan tepi yang sudah ada) dengan salah satu tepi baru V 3 atau V 4 , sehingga kita terus memenuhi kriteria.$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

Ini mengasumsikan bahwa kita tidak memiliki tepi lebih lanjut mulai atau berakhir pada node untuk bertukar, yang membawa kita ke kasus ketiga berikut: Setelah menukar salah satu dari empat Vertices , kita perlu melacak semua koneksi lain dari Vertex yang ditukar. .$V1-V4$

Sekali lagi kita hanya dapat menemukan tiga solusi: Entah kita melacak koneksi akhir, atau mengulangi langkah yang sudah kita ambil sebelumnya (menelusuri semua langkah yang tersisa). Jika kita berakhir pada simpul akhir, kita bisa menukar semua simpul yang dilacak.

Kasus terakhir yang mungkin akan mengarah ke sebuah simpul yang sudah kita kunjungi, yang akan meninggalkan kita dengan subgraph lengkap, yang kemudian dapat kita kurangi ke kondisi disebutkan .$K_{2,2}$

EDIT: Untuk memperluas bukti ini ke kasus kedua, kita harus melihat kondisi berikut:

Secara umum, jika kita memiliki subgraph dengan setidaknya satu hub (3 koneksi atau lebih), itu "agak mudah".

Kita tidak bisa mengatur ulang jika kita memiliki kasus yang ditampilkan dengan lebih dari dua tetangga dari tingkat yang lebih tinggi dari satu ( ). Ini penting karena menyediakan pengetahuan tentang tetangga lebih lanjut. Kami bahkan tidak perlu melacak mereka lebih jauh untuk menghindari lingkaran (seperti kasus pertama), tetapi cukup untuk memeriksa tetangga terdekat.$\langle k\rangle > 1$

Karena saya sendiri hanya memiliki sedikit pengetahuan di bidang ini, tetapi masih ingin memberi Anda solusi yang memungkinkan, saya menautkan Anda satu (semoga) artikel yang sesuai

Jika ada yang mau menyebutkan masalah ini, saya akan tertarik untuk belajar, terutama karena saya datang dengan solusi ini hanya dengan menindaklanjuti pemikiran dari teorema Fáry dan subgraph bipartit lengkap.