Pasangan poin terdekat antara dua set, dalam 2D

Saya memiliki dua set poin dalam bidang 2 dimensi. Saya ingin menemukan pasangan terdekat dari titik sehingga , , dan jarak Euclidean antara sekecil mungkin. Seberapa efisien hal ini dapat dilakukan? Bisakah itu dilakukan dalam waktu , di mana ? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

Saya tahu bahwa jika saya diberi satu set , maka itu mungkin untuk menemukan pasangan terdekat dari titik di waktu dengan menggunakan algoritma divide-and-conquer standar . Namun, algoritma itu tampaknya tidak menyamaratakan dengan kasus dua set, karena tidak ada hubungan antara jarak antara dua titik terdekat dalam atau vs jarak antara dua titik terdekat di set tersebut. $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

Saya berpikir untuk menyimpan set di pohon -d, lalu untuk setiap , menggunakan kueri tetangga terdekat untuk menemukan titik terdekat di ke . Namun, waktu berjalan terburuk mungkin seburuk waktu . Ada hasil yang mengatakan bahwa jika titik didistribusikan secara acak, maka waktu berjalan yang diharapkan untuk setiap permintaan adalah , jadi kami akan mendapatkan algoritma dengan waktu berjalan yang diharapkan $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$ jika kami dijamin bahwa poin didistribusikan secara acak - tapi saya sedang mencari algoritma yang akan bekerja untuk kumpulan poin (tidak harus didistribusikan secara acak).

Motivasi: Algoritma yang efisien akan berguna untuk pertanyaan lain ini .

algorithms computational-geometry

— DW
sumber

Jawaban:

Ya, ini bisa menjadi waktu. Membangun diagram Voronoi untuk . Kemudian, untuk setiap titik , cari sel mana dari diagram Voronoi yang terkandung di dalamnya. Pusat sel itu adalah titik yang paling dekat dengan . $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

Anda dapat membuat diagram Voronoi dalam waktu , dan setiap kueri (menemukan sel yang berisi ) dapat dilakukan dalam waktu , sehingga total waktu berjalan adalah waktu . $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
sumber

Bagus, jauh lebih sederhana dari apa yang bisa saya hasilkan :).

— aelguindy

Pendekatan yang bagus! Tautan akan membantu, terutama untuk sisi permintaan. Saya dapat menemukan halaman Wikipedia yang menunjukkan bahwa masalah lokasi titik umum dapat diselesaikan dalam waktu

, tetapi apakah ada cara yang lebih baik untuk kasus khusus sel Voronoi? Pencarian saya hanya menghasilkan jawaban ini , yang melakukannya dengan cara

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— j_random_hacker

Kompleksitas masalah Lokasi Titik biasanya diberikan dalam hal jumlah total simpul (di sini Diagram Voronoi). Angka ini kemungkinan lebih besar dari jumlah titik di

dan bahkan

. Saya tidak yakin jika jumlah simpul dibatasi oleh

, bukan?

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— Albjenow

@Albjenow, saya tidak yakin apakah ini membahas masalah Anda, tapi ya, dalam 2 dimensi, saya percaya jumlah simpul dalam diagram Voronoi pada

poin adalah

(Saya ingat ini

atau sesuatu seperti itu).

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

— DW

Tampaknya benar pada pertanyaan ini di math.stackexchange.

— Albjenow

~~Saya memperluas komentar saya menjadi jawaban, karena saya menemukan jawaban yang tidak memuaskan.~~ Ini hanya memecahkan masalah untuk -distance. Jawaban ini pada dasarnya salah. $L^1$

Makalah ini memecahkan masalah menemukan pasangan titik terdekat dalam dimensi untuk kasus ketika set dipisahkan oleh hyperplane di . $d$ $O(n \log^{d-1} n)$

Untuk dua dimensi, ini menyelesaikan kasus dalam jawaban yang Anda referensi sebagai motivasi utama Anda untuk pertanyaan Anda di . Ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus umum masalah 2D di . $O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

Diberikan dua set titik dalam 2D, sematkan dalam ruang 3D, gantikan set oleh beberapa dan atur oleh ke arah . Pilihan dapat dibuat untuk tidak mempengaruhi pilihan pasangan titik terdekat dengan mengambil menjadi lebih kecil dari ketelitian titik input Anda (dan menggandakan bit presisi untuk setiap koordinat input). Gunakan algoritma 3D dari kertas yang dikutip. $S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— aelguindy
sumber

+1, tetapi beberapa hal tentang makalah itu (yang baru saja saya baca): (i) mereka hanya mengklaim dapat memecahkan masalah untuk kasus jarak bujursangkar (Manhattan); (ii) Saya tidak mengerti mengapa mereka berpikir bahwa daerah

pada hal. 2 persis mengandung 1 poin. Saya berasumsi bahwa

adalah titik di

dengan median y co-ord di , dan

adalah titik di

dengan median y co-ord di , tapi saya tidak melihat bagaimana di atas bisa mengikuti dari ini .

P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

— j_random_hacker

@ j_random_hacker kertas hanya memecahkan masalah untuk jarak L1 dan jawaban ini salah :). Dan saya pikir itu huruf

:).

l

$l$

— aelguindy

Tautan rusak :(

— Keerthana Gopalakrishnan