Jual blok slot waktu

Mengingat $n$ slot waktu yang $k$ orang ingin membeli. Orang $i$ memiliki nilai $h(i,j)\geq 0$ untuk setiap slot waktu . Setiap orang hanya dapat membeli satu slot waktu berturut-turut, yang bisa kosong.$j$

Apakah ada algoritma waktu polinomial untuk menghitung nilai maksimum yang dapat dicapai penjual?

Tanpa kendala konsistensi, kami dapat memberikan setiap slot waktu kepada orang yang paling menghargainya. Juga, jika kita memperbaiki urutan slot waktu orang , maka pemrograman dinamis dapat digunakan untuk menyelesaikan untuk nilai maksimum dari orang yang membeli pertama waktu slot.k 0 ≤ i ≤ k 0 ≤ j ≤ $k$$0\le i \le k$$0\le j \le n$

Diberikan 3CNF dengan klausa pada variabel . Misalkan dan muncul di rumus masing-masing paling kali .ϕ 1 , … , ϕ k x 1 , … , x n x i ¯ x i k $\phi_1,\ldots,\phi_k$$x_1,\ldots,x_n$$x_i$$\overline{x_i}$$k_i$

Kami merancang DAG berwarna yang simpulnya terdiri dari tiga bagian:$G$

• "Penugasan" simpul dan , , . Warnai dengan "color" , dan dengan .v i ( j ) ˉ v i ( j ) 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ k $v_i(j)$$\bar{v}_i(j)$$1\leq i\leq n$$1\leq j\leq k_i$ v i ( j ) x i ( $v_i(j)$$x_i(j)$$\bar{v}_i(j)$$\overline{x_i}(j)$
• "Klausul" simpul w i ′ ( j ′ ) , 1 ≤ i ′ ≤ k , j ′ = 1 , 2 , 3 . Warna w i ′ ( j ′ ) dengan warna x i ( j ) (atau ¯ x i ( j ) ) jika ¯ x i (atau , resp.) Adalah -th literal dari klausa$w_{i'}(j')$$1\leq i'\leq k$$j'=1,2,3$$w_{i'}(j')$$x_i(j)$$\overline{x_i}(j)$$\overline{x_i}$$x_i$$j'$$\phi_{i'}$ , dan itu adalah klausa ke- mengandung literal ini.$j$
• "Potong" simpul . Warnai mereka dengan warna berbeda yang berbeda dari atas.$s=s_0,s_1,\ldots,s_n, s_{n+1},\ldots s_{n+k}=t$

Tepi meliputi:

• s i - 1 v i ( 1 ) , v i ( j ) v i ( j + 1 ) , v i ( k i ) s i ;$s_{i-1}v_i(1)$$v_i(j)v_i(j+1)$$v_i(k_i)s_i$
• s i - 1 ˉ v i ( 1 ) , ˉ v i ( j ) ˉ v i ( j + 1 ) , ˉ v i ( k i ) s i ;$s_{i-1}\bar{v}_i(1)$$\bar{v}_i(j)\bar{v}_i(j+1)$$\bar{v}_i(k_i)s_i$
• dan s n + i ′ - 1 w i ′ ( j ′ ) , w i ′ ( j ′ ) s n + i ′ .$s_{n+i'-1}w_{i'}(j')$$w_{i'}(j')s_{n+i'}$

Misalnya, dari 3CNF ( x 1 ∨ x 2 ∨ ¯ x 3 ) ∧ ( x 1 ∨ ¯ x 2 ∨ x 3 ) grafik berikut dibuat (Arah tepi dari kiri ke kanan). $(x_1 \vee x_2 \vee \overline{x_3})\wedge(x_1 \vee \overline{x_2}\vee x_3)$

Sekarang tidak sulit untuk melihat bahwa 3CNF asli satisfiable jika dan hanya jika ada s - t path dengan warna vertex yang berbeda di G .$s$$t$$G$

(Ngomong-ngomong, itu adalah produk sampingan bahwa keberadaan s - t path dengan berbagai warna titik dalam DAG berwarna adalah NP-hard . Saya tidak menemukan banyak literatur tentang masalah ini dalam perspektif komputasi. Jika Anda tahu, tolong komentar!)$s$$t$$\textsf{NP-hard}$

Jadi apa hubungan antara masalah G dan OP? Secara intuitif apa yang akan kita lakukan adalah merancang matriks h , sehingga setiap warna dipetakan ke baris (yang adalah orang), dan ujungnya dipetakan ke kolom berturut-turut (slot waktu). Oleh karena itu penjadwalan maksimum, yang pada dasarnya bergerak dari kiri ke kanan dalam matriks, sesuai dengan jalur s - t .$G$$h$$s$$t$

Matriks kami h memiliki 2 n + 1 + Σ i 2 k i + k kolom, dengan indeks mulai dari 0 . Dalam berikut constrcution X merupakan Y dua nilai memuaskan 1 « X « Y . Rasio X / 1 , Y / X dapat menjadi kekuatan besar k dan n . Mari K i = 2 i + 2 Σ i $h$$2n+1+\sum_i 2k_i+k$$0$$X$$Y$$1\ll X\ll Y$$X/1, Y/X$$k$$n$= 1 ki.$K_i=2i+2\sum_{j=1}^i k_i$

• Untuk setiap s i , 0 ≤ i ≤ n , misalkan h ( s i , K i ) = h ( s i , K i - k i - 1 ) = h ( s i , K i + k i + 1 + 1 ) = Y (jika koordinat ada, sama di bawah).$s_i$$0\leq i\leq n$$h(s_i,K_i)=h(s_i,K_i-k_i-1)=h(s_i,K_i+k_{i+1}+1)=Y$
• Untuk setiap x i ( j ) , misalkan h ( x i ( j ) , K i - 1 + j ) = X ; Untuk setiap ¯ x i ( j ) , biarkan h ( ¯ x i ( j ) , K i - 1 + k i + 1 + j ) = X .$x_i(j)$$h(x_i(j),K_{i-1}+j)=X$$\overline{x_i}(j)$$h(\overline{x_i}(j),K_{i-1}+k_i+1+j)=X$
• Untuk setiap ϕ i ′ , 1 ≤ i ′ ≤ k dan literal x dalam klausa ϕ i ′ , misalkan h ( x , K n + i ′ ) = 1 .$\phi_{i'}$$1\leq i'\leq k$$x$$\phi_{i'}$$h(x,K_n+i')=1$
• Semua entri lainnya adalah 0.

Sebagai contoh, untuk contoh grafik di atas matriks yang sesuai adalah

Sekarang kita mengklaim: yang 3CNF asli satisfiable jika dan hanya jika nilai maksimum adalah ( 2 n + 1 ) Y + Σ i k i X + k .$(2n+1)Y+\sum_i k_iX+k$

Pertimbangkan penjadwalan yang mencapai nilai maksimum. Karena ada persis ( 2 n + 1 ) kolom di h mengandung Y , mereka semua harus ditutupi. Untuk kolom K i + k i + 1 yang memiliki dua pilihan Y , misalkan penjadwalan memberikannya ke s i . Karena kolom K i harus ditugaskan ke s i , oleh konsistensi kita harus kehilangan kolom K i + 1 hingga K i + $(2n+1)$$h$$Y$$K_i+k_i+1$$Y$$s_i$$K_i$$s_i$$K_i+1$i . Hal yang sama terjadi jika penjadwalan menetapkan kolom K i + k i + 1 ke s i + 1 .$K_i+k_i$$K_i+k_i+1$$s_{i+1}$

Oleh karena itu, dalam rangka untuk memiliki nilai Σ i k i X , kita harus pilih semua sisa tersedia X 's dalam matriks, yang sesuai dengan tugas pada variabel. Jadi nilai sisa k dapat dicapai jika dan hanya jika penugasan memenuhi setiap klausa.$\sum_i k_iX$$X$$k$

Sebagai kesimpulan, menentukan nilai maksimum penjadwalan hukum adalah NP-hard . Mungkin itu sebabnya semua upaya kami sebelumnya untuk menemukan algoritma gagal.$\textsf{NP-hard}$

This solution has problems and will be deleted soon; see templatetypedef's comment.

You can solve this in polynomial time using minimum-cost flow. In the following, all edges have unit capacity.

• Create a source vertex $s$, and a target vertex $t$. We will send $k$ units of flow from $s$ to $t$.
• Create $n+1$ vertices $v_0, \dots, v_n$ to represent the time points between slots, and a directed edge $v_jv_{j+1}$ for each $0 \le j < n$ with cost 0.
• For each person $i$, create the following:
  • A sub-source vertex $s_i$ and a sub-sink vertex $t_i$.
  • For every $0 \le j < n$, an edge from $s_i$ to $v_j$ having cost $\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$ (which we take to be 0 if $j=0$).
  • For every $1 \le j \le n$, an edge from $v_j$ to $t_i$ having cost $-\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$.
  • An edge $ss_i$ with cost 0.
  • An edge $t_it$ with cost 0.

A minimum-cost flow in this network will have total cost equal to the negative of the best possible profit. (This cost will be negative, but that's not a problem.) There is an optimal integral solution in which every person $i$ has a single edge leaving $s_i$ with a flow of 1 and a single edge arriving at $t_i$ with a flow of 1, and all other edges incident on either $s_i$ or $t_i$ have 0 flow. Let these flow-1 edges for person $i$ be $s_iv_j$ and $v_kt_i$: then $k \ge j$, since the only paths among $v$-vertices are those that increase the subscript. If $k = j$, then person $i$ is allocated no time slots; otherwise, person $i$ is allocated the block of time slots $j+1, \dots, k$.

Intuitively, each person "gets" 1 unit of flow from $s$ and chooses a start time (edge) and end time (edge); these start and end edges are the only edges with nonzero cost in the network, and we can represent the value of a block $j+1, \dots, k$ as the difference of two prefix sums. The unit capacities on the edges between the $v$-vertices act to prevent 2 people from using the same time slot.

Interestingly, this formulation will work even if the values $h(i, j)$ may be negative.