Apakah Mesin Turing “menurut definisi” adalah mesin yang paling kuat?


54

Saya setuju bahwa Mesin Turing dapat melakukan "semua kemungkinan masalah matematika". Tapi itu karena itu hanya representasi mesin dari suatu algoritma: pertama lakukan ini, kemudian lakukan itu, akhirnya keluaran itu.

Maksud saya apa pun yang dapat dipecahkan dapat diwakili oleh suatu algoritma (karena itulah definisi 'dipecahkan'). Itu hanya tautologi. Saya mengatakan tidak ada yang baru di sini.

Dan dengan membuat representasi mesin dari suatu algoritma, itu juga akan menyelesaikan semua masalah yang mungkin juga bukan hal baru. Ini juga hanya tautologi. Jadi pada dasarnya ketika dikatakan bahwa Mesin Turing adalah mesin yang paling kuat, apa artinya secara efektif adalah bahwa mesin yang paling kuat adalah mesin yang paling kuat!

Definisi "paling kuat": Itu yang bisa menerima bahasa apa pun.
Definisi "Algoritma": Proses untuk melakukan apa saja. Representasi mesin "Algoritma": Mesin yang dapat melakukan apa saja.

Oleh karena itu hanya logis bahwa representasi mesin dari suatu algoritma akan menjadi mesin yang paling kuat. Apa hal baru yang diberikan Alan Turing kepada kami?


9
Mesin pemutar tidak dapat menyelesaikan masalah penghentian. Namun, tidak ada bukti tidak ada mesin untuk menyelesaikannya. Modelnya adalah jenis TM dengan oracle, atau pendekatan yang sepenuhnya berbeda. Jika Anda mengikuti tesis Gereja, TM hanya mewakili mesin yang kami gunakan saat ini.
Eugene

16
Ini adalah mesin paling kuat yang kami tahu cara membuatnya . Sebenarnya tidak, kita hanya bisa membangun automata terbatas.
Raphael

13
Masalah Anda adalah bahwa Anda menganggap TM sebagai sesuatu yang terjadi setelahnya. Bukan itu. Itu (dan) digunakan untuk mendefinisikan kelas masalah Turing -computable. Banyak model yang setara telah ditemukan, tetapi itu tidak mengubah definisi.
Raphael

3
Ada ratusan arsitektur komputer yang berbeda (Turing-complete) di luar sana, semua dengan set instruksi yang sangat berbeda. Saya tidak berpikir itu jelas sama sekali bahwa tidak ada masalah yang bisa diselesaikan tetapi yang lain tidak bisa.
BlueRaja - Danny Pflughoeft

5
... bukankah yang Anda katakan hanya tesis Gereja-Turing ? Sejauh yang kami tahu tidak ada yang membantah tesis ini, tetapi kami tidak dapat mengecualikan keberadaan model komputasi yang berbeda yang "masuk akal" (yaitu dalam beberapa hal dapat diimplementasikan) dan lebih kuat dari TM.
Bakuriu

Jawaban:


135

Saya setuju bahwa Mesin Turing dapat melakukan "semua masalah matematika yang mungkin".

Yah, seharusnya tidak, karena itu tidak benar. Misalnya, mesin Turing tidak dapat menentukan apakah polinomial dengan koefisien integer memiliki solusi integer ( masalah kesepuluh Hilbert ).

Apakah Mesin Turing "menurut definisi" mesin yang paling kuat?

Tidak. Kita bisa memimpikan hierarki tak terbatas dari mesin yang lebih kuat . Namun, mesin Turing adalah mesin paling kuat yang kita tahu, setidaknya pada prinsipnya, cara membuat. Namun, itu bukan definisi: tetapi kami tidak memiliki petunjuk bagaimana membangun sesuatu yang lebih kuat, atau jika itu mungkin.

Apa hal baru yang diberikan Alan Turing kepada kami?

Definisi formal algoritma. Tanpa definisi seperti itu (misalnya, mesin Turing), kami hanya memiliki definisi algoritma informal, di sepanjang baris "Prosedur yang ditentukan secara spesifik untuk menyelesaikan sesuatu." OK bagus. Tetapi langkah individual apa yang diperbolehkan untuk diambil oleh prosedur ini?

Apakah langkah dasar operasi aritmatika? Apakah menemukan gradien kurva adalah langkah? Apakah menemukan akar polinomial adalah langkah? Apakah menemukan akar bilangan bulat dari polinomial adalah langkah? Masing-masing tampaknya alami. Namun, jika Anda mengizinkan semuanya, "prosedur yang ditentukan secara spesifik" Anda lebih kuat daripada mesin Turing, yang berarti mereka dapat menyelesaikan hal-hal yang tidak dapat diselesaikan dengan algoritma. Jika Anda mengizinkan semua kecuali yang terakhir, Anda masih berada dalam ranah perhitungan Turing.

Jika kami tidak memiliki definisi formal dari algoritma, kami bahkan tidak akan dapat mengajukan pertanyaan ini. Kami tidak akan mampu untuk mendiskusikan apa algoritma dapat dilakukan, karena kita tidak akan tahu apa algoritma adalah .


3
Komentar bukan untuk diskusi panjang; percakapan ini telah dipindahkan ke obrolan .
DW

Bukankah maksud Anda solusi rasional? Saya pikir solusi integer dimungkinkan untuk dilakukan dalam sejumlah langkah terbatas.
Trenin

2
@Trenin Halaman Wikipedia yang saya tautkan bertuliskan "integer rasional", yang menjelaskannya sebagai frasa yang kadang-kadang digunakan untuk membedakan bilangan bulat biasa dari objek seperti bilangan bulat Gaussian (bilangan kompleks mana ). a , b Za+iba,bZ
David Richerby

Mengerti. Selain itu, apa yang saya pikir mungkin ternyata jauh lebih sulit daripada yang saya pikirkan.
Trenin

64

Anda tidak benar ketika berulang kali membuat pernyataan tentang ini atau itu "hanya sebuah tautologi". Jadi izinkan saya untuk menempatkan klaim Anda ke dalam sedikit konteks sejarah.

Pertama-tama, Anda perlu membuat konsep yang Anda gunakan tepat. Apa masalahnya? Apa itu algoritma? Apa itu mesin? Anda mungkin berpikir ini jelas, tetapi sebagian besar dari tahun 1920-an dan 1930-an dihabiskan oleh para ahli logika yang mencoba untuk memecahkan masalah ini. Ada beberapa proposal, salah satunya adalah mesin Turing, yang merupakan yang paling sukses. Kemudian ternyata proposal lain setara dengan mesin Turing. Anda harus membayangkan era ketika kata "komputer" menandakan seseorang, bukan mesin. Anda hanya menunggangi ombak dan konsekuensi dari penemuan-penemuan cemerlang oleh pikiran-pikiran cemerlang dari seratus tahun yang lalu, tanpa menyadarinya.

Mesin Turing dijelaskan secara konkret dalam hal status, kepala, dan pita kerja. Jauh dari jelas bahwa ini menguras kemungkinan komputasi dari alam semesta yang kita tinggali. Tidak bisakah kita membuat mesin yang lebih kuat menggunakan listrik, atau air, atau fenomena kuantum? Bagaimana jika kita menerbangkan mesin Turing ke dalam lubang hitam dengan kecepatan dan arah yang tepat, sehingga dapat melakukan banyak langkah tak terhingga dalam waktu yang terbatas bagi kita? Anda tidak bisa hanya mengatakan "jelas tidak" - Anda perlu melakukan beberapa perhitungan dalam relativitas umum terlebih dahulu. Dan bagaimana jika fisikawan menemukan cara untuk berkomunikasi dan mengendalikan alam semesta paralel, sehingga kita dapat menjalankan banyak mesin Turing dalam waktu paralel?

Itu tidak peduli bahwa saat ini kita tidak bisa melakukan hal-hal ini. Yang penting, bagaimanapun, adalah Anda memahami bahwa Turing harus memikirkan apa yang secara fisik mungkin (berdasarkan pengetahuan fisika pada saat itu). Dia tidak hanya menuliskan "tautologi belaka". Jauh dari itu, ia dengan hati-hati menganalisis apa artinya komputasi dalam arti informal, kemudian ia mengusulkan model formal, dengan sangat hati-hati berpendapat bahwa model ini menangkap apa yang dipahami orang dengan "perhitungan", dan ia mendapatkan beberapa teorema penting tentangnya. Salah satu teorema ini mengatakan bahwa mesin Turing tidak dapat menyelesaikan semua masalah matematika (bertentangan dengan salah satu pernyataan salah Anda). Semua ini, dalam satu makalah, ditulis selama vaksinasi musim panas, ketika dia masih mahasiswa.adalah penemuan gagasan komputer tujuan umum modern. Setelah itu hanya masalah teknik sederhana.

Apakah itu menjawab apa yang kontribusi Turing bagi umat manusia di luar tautologi belaka? Dan apakah Anda benar-benar membaca makalahnya ?


19
"Anda harus membayangkan era ketika kata" komputer "menandakan seseorang, bukan mesin." Ini adalah pengingat yang sangat membantu. Intinya, Turing mencoba mensimulasikan secara efektif, dengan "mesin" -nya, operasi yang bisa dilakukan seseorang dengan pena dan kertas pada waktu itu untuk menghitung sesuatu.
Sorrop

2
"Teorema-Nya tentang keberadaan mesin universal adalah penemuan komputer tujuan umum modern." - Yah .... di dunia matematika, mungkin. Orang-orang seperti Konrad Zuse mengembangkan komputer serba guna secara mandiri.
Raphael

6
@AndrejBauer Itu masih menunjukkan timeline dan ketergantungan yang tidak ada, tidak dalam semua kasus. Saya tidak menyalahkan Anda - hanya sedikit orang yang tahu apa yang Zuse lakukan saat itu. Faktanya, ia membangun komputer dari tahun 1935 sampai WW2 tanpa banyak masukan dari luar Jerman. Dia juga mengembangkan Plankalkül selama waktu itu. Saya kira itu dengan komputer seperti halnya banyak hal lain: waktunya sudah matang, begitu banyak pikiran berpikiran serupa. Intinya, untuk semua kontribusinya, Turing tidak menciptakan komputasi .
Raphael

12
@ Raphael: Konrad Zuse tidak tahu bahwa mesinnya dapat memproses semua masalah yang dapat dihitung (kita sekarang tahu bahwa mesinnya ADALAH Turing lengkap - memori modulo). Apa yang kontribusi Turing BUKAN gagasan bahwa mesin dapat melakukan perhitungan - Babbage melakukan itu sebelum Zuse atau Turing. Apa yang dikontribusikan Turing adalah gagasan bahwa set instruksi dan bahasa pemrograman tidak terlalu penting dalam teori. Ini bukan ide yang jelas. Ironisnya, ini adalah ide yang mendorong pengembangan CPU dan bahasa pemrograman
slebetman

1
"set instruksi dan bahasa pemrograman tidak terlalu penting dalam teori" - itu jelas salah. Perbedaan dapat masalah, tetapi mereka tidak selalu. Turing mendefinisikan model perhitungan tertentu dan mengklaim itu sekuat yang akan didapat. Terperangkap di antara peringatan dari memori tak terbatas dan model yang lebih kuat, saya tidak terlalu yakin bahwa klaim itu menahan air. Jadi, di satu sisi, dia tidak melakukan apa pun selain Zuse, jika dengan matematika, bukan logam.
Raphael

23

Bahwa "apa pun yang dapat dipecahkan dapat diwakili oleh suatu algoritma" sama sekali tidak jelas.

Ini telah menjadi objek perdebatan sengit, karena Alan Turing, yang mengerjakan ulang ide-ide Gereja Alonzo, mengusulkan definisi angka yang dapat dihitung yang mengambil bentuk mesin yang Anda maksud. Yang penting, mereka bukan satu-satunya orang yang mengerjakan hal semacam ini, pada saat itu.

Kami masih menyebutnya tesis - atau dugaan - karena "apa pun yang dapat dihitung" jelas bukan objek matematika yang tepat, yang struktur dan jangkauannya dapat dipelajari dengan cara yang tidak spekulatif.


1
Tetapi segala sesuatu yang dapat dipecahkan harus diselesaikan dengan "proses" (menurut definisi). Kita mungkin tidak tahu proses untuk menyelesaikan masalah "terpecahkan" tertentu saat ini. Dalam hal ini berarti masalahnya dapat dipecahkan tetapi tidak dapat diselesaikan sekarang. Apakah itu tidak secara efektif berarti bahwa "apa pun yang dapat dipecahkan dapat diwakili oleh suatu algoritma" karena "proses" = "algoritma". Mengapa Anda mengatakan itu tidak jelas?
Sounak Bhattacharya

13
Apa itu "proses"? Lihat, mudah dijalankan dalam lingkaran, menggantikan satu konsep yang tidak jelas dengan yang lain. Upaya Turing sebenarnya adalah eksperimen pikiran yang menjelma, yang masih memberi makan imajinasi kita, bahkan hingga hari ini. Itu bukan hal kecil.
André Souza Lemos

@SounakBhattacharya Oleh beberapa proses (bertahun-tahun dan jenius) Sir Andrew Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat benar. Apakah Anda membayangkan ada TM yang bisa membuat tekad itu?
OJFord

1
@ OllieFord Nah, jika buktinya cukup ketat sehingga setiap langkah dapat dinyatakan dalam aksioma yang ditentukan dengan baik, maka buktinya dapat diverifikasi oleh mesin Turing. Kami kemudian dapat menentukan mesin Turing yang menyebutkan semua bukti yang mungkin dan pasti (tapi sangat sangat lambat) mesin akan menemukan bukti seperti itu. Implementasi fisik sederhana dari mesin Turing itu akan memakan waktu lebih dari 400 tahun, dan jauh lebih lama dari umur alam semesta yang diharapkan.
gmatht

19

Pertama, penting untuk diingat bahwa Mesin Turing pada awalnya dirancang oleh Turing bukan sebagai model dari semua jenis komputer yang dapat direalisasikan secara fisik melainkan sebagai batas ideal untuk apa yang dapat dihitung oleh manusia yang menghitung dalam mekanis langkah-demi-langkah cara (tanpa menggunakan intuisi). Poin ini banyak disalahpahami - lihat [1] untuk penjelasan yang bagus tentang ini dan topik terkait.

Keterbatasan keterbatasan yang didalilkan oleh Turing untuk Mesin Turingnya didasarkan pada keterbatasan yang dipostulasikan dari alat sensorik manusia. Generalisasi analisis Turing untuk perangkat komputasi yang dapat direalisasikan secara fisik (dan tesis Church-Turing yang analog) tidak muncul sampai kemudian (1980) karena Robin Gandy - dengan keterbatasan berdasarkan pada hukum fisika. Seperti yang Odifreddi katakan di hlm. 51 dari [2] (Alkitab Teori Rekursi Klasik)

Mesin Turing adalah perangkat teoretis, tetapi telah dirancang dengan memperhatikan keterbatasan fisik. Secara khusus, kami telah memasukkan dalam batasan model kami yang berasal dari:

  • (a) ATOMISME, dengan memastikan bahwa jumlah informasi yang dapat dikodekan dalam konfigurasi mesin apa pun (sebagai sistem hingga) dibatasi; dan

  • (B) RELATIVITAS, dengan mengecualikan tindakan di kejauhan, dan membuat efek kausal menyebar melalui interaksi lokal. Gandy [1980] telah menunjukkan bahwa gagasan mesin Turing cukup umum untuk merangkum, dalam arti yang tepat, setiap perangkat komputasi memenuhi batasan yang sama.

dan pada hal. 107: (Teori umum perangkat diskrit dan deterministik)

Analisis (Gereja [1957], Kolmogorov dan Uspenskii [1958], Gandy [1980]) dimulai dari asumsi atomisme dan relativitas. Yang pertama mereduksi struktur materi menjadi sekumpulan partikel dasar hingga dimensi terbatas, dan dengan demikian membenarkan kemungkinan teoretis pembongkaran sebuah mesin ke sekumpulan konstituen dasar. Yang terakhir memaksakan batas atas (kecepatan cahaya) pada kecepatan propagasi dari perubahan sebab-akibat, dan dengan demikian membenarkan kemungkinan teoretis untuk mengurangi efek sebab-akibat yang dihasilkan dalam t instan pada daerah ruang V yang terbatas, pada tindakan yang dihasilkan oleh daerah titik-titik yang berada dalam jarak c * t dari beberapa titik V. Tentu saja, asumsi tidak memperhitungkan sistem akun yang kontinu, atau yang memungkinkan aksi-di-a-jarak yang tidak terbatas (seperti sistem gravitasi Newton).

Analisis Gandy menunjukkan bahwa PERILAKU ADALAH REKURSIF, UNTUK PERANGKAT APA PUN DENGAN TETAP TERTENTU PADA KOMPLEKSITAS KONFIGURASI YANG MUNGKINNYA (dalam arti bahwa kedua tingkat pembentukan konseptual dari konstituen, dan jumlah konstituen di setiap bagian terstruktur dari konfigurasi apa pun, dibatasi), DAN TETAP TETAP, SET DETERMINISTIK INSTRUKSI UNTUK TINDAKAN LOKAL DAN GLOBAL (yang pertama mengatakan bagaimana menentukan efek suatu tindakan pada bagian terstruktur, yang terakhir bagaimana merakit efek lokal). Selain itu, analisisnya optimal dalam arti bahwa, ketika dibuat dengan tepat, segala pelonggaran kondisi menjadi kompatibel dengan perilaku apa pun, dan dengan demikian memberikan deskripsi yang cukup dan perlu tentang perilaku rekursif.

Analisis Gandy memberikan perspektif yang sangat mencerahkan tentang kekuatan dan keterbatasan Turing Machines. Adalah bacaan yang layak untuk mendapatkan wawasan lebih lanjut tentang masalah ini. Akan tetapi, diperingatkan sebelumnya bahwa makalah Gandy 1980 [3] dianggap sebagai hal yang sulit bahkan oleh beberapa orang yang sadar. Anda mungkin terbantu untuk membaca dulu karya-karya di [4] oleh J. Shepherdson, dan A. Makowsky.

[1] Sieg, Wilfried. Prosedur mekanik dan pengalaman matematika. [pp. 71--117 dalam Matematika dan pikiran. Makalah dari Konferensi tentang Filsafat Matematika diadakan di Amherst College, Amherst, Massachusetts, 5-7 April 1991. Diedit oleh Alexander George. Komputasi Logika. Philos., Oxford Univ. Press, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (Reviewer: Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Odifreddi, Piergiorgio. Teori rekursi klasik. Teori fungsi dan set bilangan alami. Dengan kata pengantar oleh GE Sacks. Studi Logika dan Yayasan Matematika, 125. North-Holland Publishing Co, Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 hal. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (Reviewer: Rodney G. Downey ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Gandy, Robin. Tesis dan prinsip-prinsip Gereja untuk mekanisme. Simposium Kleene. Prosiding Simposium diadakan di University of Wisconsin, Madison, Wis., 18--24 Juni 1978. Diedit oleh Jon Barwise, H. Jerome Keisler dan Kenneth Kunen. Studi Logika dan Yayasan Matematika, 101. North-Holland Publishing Co, Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 hlm. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (Reviewer: Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] Mesin Turing universal: survei setengah abad. Edisi kedua. Diedit oleh Rolf Herken. Computerkultur [Budaya Komputer], II. Springer-Verlag, Vienna, 1995. xvi + 611 hlm. ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)


2
Terima kasih banyak! Saya selalu merasa bahwa mesin Turing anehnya aneh, tetapi ini cukup adil untuk menjelaskan mengapa hal itu bisa disalahpahami.
PJTraill

6

Diskusi populer terbaik dari pertanyaan ini yang pernah saya baca adalah esai profesor MIT Scott Aaronson Who Can Name the Bigger Number? , di mana ia mengeksplorasi, antara lain, implikasi dari mesin super-Turing, mesin super-duper-Turing, dan mesin-Turing super-duper-pooper.


2
Setelah "super-duper-pooper" datang "super-duper-ooper-flooper", atau setidaknya itulah yang sepertinya saya ingat dari ketika saya mungkin berusia 7 atau 8. Mungkin istilah formal yang benar.
Peter Cordes

4

Tidak, TM tidak paling kuat. Dua contoh:

a) Mungkin ada mesin lain yang menghitung hasil yang sama seperti TM tetapi secara algoritmik lebih cepat (misalnya komputer kuantum menghitung faktor utama). "Lebih cepat" adalah jenis kekuatan.

b) TM tidak dapat mewakili bilangan real umum dengan presisi sempurna. Tetapi Komputer Analog (AC) mungkin dapat mewakili dan melakukan aritmatika dengan bilangan real dengan presisi sempurna. Ini akan lebih kuat daripada TM mana pun.


Tentu saja (b) mengharuskan alam semesta kita memiliki beberapa sifat kontinu (gravitasi?) Yang dapat digunakan AC untuk mewakili nilai-nilai nyata. Mungkin setiap sifat fisik, termasuk gravitasi, diukur. Tapi kita bisa berspekulasi tentang mesin di alam semesta yang berkelanjutan. Jadi TM tidak paling kuat "menurut definisi".


3
Selamat datang di situs ini! "Lebih kuat" dalam konteks teori komputasi biasanya dianggap berarti "mampu menghitung lebih banyak fungsi", daripada "mampu menghitung dalam langkah lebih sedikit", jadi saya tidak yakin (a) Anda benar-benar diperhitungkan. Juga, tidak jelas bagaimana komputer dapat menggunakan nilai nyata. Bagaimana Anda akan memasukkan nilai nyata yang bukan, katakanlah, nyata yang dapat dihitung? Bagaimana Anda memberi tahu orang lain berapa nilai yang harus mereka input ke mesin kontinu mereka, dan bagaimana Anda menangani kebisingan? Tapi mungkin itu keberatan konyol seperti, "Bagaimana Anda menghasilkan cukup kaset untuk digunakan mesin Turing".
David Richerby

-4

Jika Anda melihat kompleksitas komputasi, Mesin Turing adalah mesin yang paling kuat - karena memiliki memori tidak terbatas, dan tidak ada mesin nyata yang memilikinya. Setiap mesin nyata tidak dapat memecahkan masalah ukuran sewenang-wenang; mereka bahkan tidak bisa membaca masalah, apalagi menyelesaikannya.

Di sisi lain, jika Anda mencoba menerapkan Mesin Turing nyata, katakanlah dengan ketentuan bahwa itu berhenti dan membunyikan alarm jika kehabisan kaset, Anda akan menemukan bahwa itu akan mengambil banyak langkah lagi untuk melakukan segala jenis perhitungan daripada katakanlah mesin nyata di telepon murah, dan akan jauh lebih lambat dalam memecahkan masalah nyata. Anda juga akan menemukan bahwa menulis jawaban pada kaset bukanlah antarmuka pengguna yang sangat baik. Dan Anda akan menemukan bahwa banyak orang menggunakan komputer bukan untuk menyelesaikan masalah, tetapi untuk mengirim foto telanjang ke teman-teman mereka dan untuk menonton video kucing, dan Mesin Turing tidak ada gunanya sama sekali.


12
Bisakah Anda mengklarifikasi bagaimana ini menjawab pertanyaan?
David Richerby

1
Jelas Turing Machine nyata akan dapat memproses foto dan video. Beberapa jenis perangkat output gambar tentu saja diperlukan bagi manusia untuk melihatnya, tetapi itu berlaku untuk komputer apa pun; memori CPU + pada papan sirkuit tidak "ada gunanya sama sekali" saja.
hyde

1
Di antara model mesin dengan memori tak terbatas, TM bukan yang paling kuat!
Raphael
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.