Temukan pola berulang terpanjang dalam sebuah string

Saya mencari algoritma yang efisien untuk menemukan pola berulang terpanjang dalam sebuah string.

Misalnya, perhatikan string angka berikut:

5431428571428571428571428571427623874534.

Seperti yang Anda lihat, 142857142857adalah pola terpanjang yang diulang beberapa kali (setidaknya dua kali) dalam string ini.

String yang diulang seharusnya tidak mengandung ide apa pun alih-alih kekerasan?

algorithms strings subsequences

— Juho
sumber

Anda tidak mendefinisikan apa yang dimaksud "beberapa kali", tetapi jika "dua kali" dianggap sebagai "beberapa kali," maka 142857itu bukan yang terpanjang karena 142857142857lebih lama. Saya pikir Anda harus mengedit pertanyaan untuk memperjelas apa yang Anda maksud dengan “pola berulang.”

— Tsuyoshi Ito

poin yang sangat bagus. Saya akan memperbarui pertanyaan.

Apakah Anda membutuhkan kemunculan pola yang terpisah satu sama lain? Karena jika tidak, 142857142857 masih bukan pengulangan terpanjang; 142857142857142857142 terjadi dua kali. Bagaimanapun, jawaban yang biasa untuk pertanyaan seperti ini adalah "pohon sufiks".

Masalahnya secara mengejutkan adalah non-sepele. Pertama, dua algoritma brute force. Kotak ("pola berulang") diberikan oleh panjangnya $\ell$ dan posisi $p$ , dan membutuhkan waktu $O(\ell)$ untuk memverifikasi. Jika kita membahas semua $\ell$ dan $p$ , kita mendapatkan algoritma $O(n^3)$ . Kita dapat memperbaikinya dengan terlebih dahulu mengulangi $\ell$ , dan kemudian memindai string dengan dua pointer berjalan pada jarak $\ell$ . Dengan cara ini, seseorang dapat memverifikasi apakah kuadrat panjang $2\ell$ ada dalam waktu linier, memberikan total waktu berjalan $O(n^2)$ .

Kolpakov dan Kucherov mengembangkan algoritma untuk menemukan semua pengulangan maksimal dalam kata dalam waktu $O(n)$ [1], dan algoritma mereka dapat digunakan untuk menemukan semua kotak maksimal dalam waktu $O(n)$ . Sebuah ulangi adalah subword dari bentuk $w^kx$ , di mana $k \geq 2$ dan $x$ adalah awalan yang tepat $w$ . Kuadrat terbesar yang terkandung dalam pengulangan itu adalah $(w^{\lfloor k/2 \rfloor})^2$ . Menggunakan rumus ini, mengingat semua pengulangan maksimal dalam sebuah kata (yang hanya ada $O(n)$ banyak), orang dapat menemukan kuadrat terbesar.

[1] Kolpakov, R., & Kucherov, G. (1999). Menemukan pengulangan maksimal dalam sebuah kata dalam waktu linier . Dalam Yayasan Ilmu Komputer, 1999. Simposium Tahunan ke-40 tentang (hal. 596-604). IEEE.

— Yuval Filmus
sumber