Ruang metrik yang menarik terkait dengan mesin Turing

Dalam pertanyaan ini kami hanya mempertimbangkan mesin Turing yang berhenti pada semua input. Jika $k \in \mathbb{N}$ maka oleh kita menunjukkan mesin Turing yang kodenya adalah . $T_k$ $k$

Pertimbangkan fungsi berikut

s (x, y) = min {k ∣ | L (T_{k}) \cap {x, y} | = 1}

$s(x,y) = \min\{k \mid |L(T_k) \cap \{x,y\}| = 1\}$

Dengan kata lain, adalah kode dari mesin Turing terkecil yang mengenali dengan tepat salah satu stringKita sekarang dapat mendefinisikan peta berikut $s(x,y)$ $x,y.$

d (x, y) = {\begin{cases} 2^{- s (x, y)} & if x \neq y, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$d(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 2^{-s(x,y)} & \mbox{if } x \ne y, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.$

Dapat dengan cepat diverifikasi bahwa menginduksi ruang metrik (sebenarnya ultrametrik) pada $d(x,y)$ $\Sigma^{*}.$

Sekarang saya ingin membuktikan bahwa jika adalah fungsi kontinu yang seragam maka untuk setiap bahasa rekursif L, bersifat rekursif juga. $f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$ $f^{-1}(L)$

Dengan kata lain, biarkan menjadi peta sedemikian rupa sehingga untuk setiap ada sehingga jika untuk string lalu Maka kita perlu menunjukkan bahwa adalah bahasa rekursif mengingat adalah rekursif. $f$ $\epsilon > 0$ $\delta > 0$ $x,y \in \Sigma^{*}$

d (x, y) \leq δ

$\quad d(x,y) \leq \delta$

d (f (x), f (y)) < ϵ .

$d(f(x),f(y)) < \epsilon.$

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$

L

$L$

Sekarang seperti yang sudah dicatat dalam posting ini salah satu cara untuk mendekati masalah adalah dengan menunjukkan bahwa ada mesin Turing yang diberi string menghitung $x \in \Sigma^{*}$ $f(x).$

Saya terjebak untuk membuktikan klaim ini dan perlahan bertanya-tanya apakah ada pendekatan lain untuk menyelesaikan ini?

Petunjuk, saran dan solusi dipersilahkan!

computability turing-machines

— Jernej
sumber

Mengapa Anda mencoba membuktikan ini? Ini mengingatkan saya pada komputabilitas Banach-Mazur, yang tidak berperilaku sangat baik.

— Andrej Bauer

Tugas rumah @AndrejBauer!

— Jernej

Edit: menghapus petunjuk, memposting solusi saya.

Ini solusinya. Kita akan memilih titik referensi mana dan mempertimbangkan alam semesta dari sudut pandang dan . Ternyata setiap "lingkungan" suatu titik sesuai dengan bahasa rekursif. Jadi adalah lingkungan di sekitar , dan akan ada beberapa lingkungan di sekitar yang memetakannya; lingkungan ini adalah bahasa rekursif. $x$ $f(x) \in L$ $x$ $f(x)$ $L$ $f(x)$ $x$

Kata pengantar singkat. Dalam ruang ini, sebuah bahasa bersifat rekursif jika dan hanya jika merupakan lingkungan dari masing-masing string.

Bukti . Pertama, memperbaiki bahasa rekursif dan membiarkan . Mari menjadi indeks minimal penentu untuk . Lalu kami memiliki bahwa jika , , sehingga . Dengan demikian menyiratkan bahwa $L$ $x \in L$ $K$ $L$ $y \not \in L$ $s(x,y) \leq K$ $d(x,y) \geq 1/2^K$ $d(x,y) < 1/2^K$ . $y \in L$

Kedua, misalkan menjadi string acak dan perbaiki ; misalkan . Misalkan ; lalu . Lalu kita bisa menulis $x$ $\varepsilon > 0$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$ $L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

L_{K} = {y : (\forall j = 1, \dots, K) | L (T_{j}) \cap {x, y} | \neq 1} .

$L_K = \{ y : (\forall j=1,\dots,K) |L(T_j) \cap \{x,y\}| \neq 1\}.$

Tapi adalah decidable: Pada masukan , salah satu dapat mensimulasikan pertama deciders pada dan dan menerima jika dan hanya jika setiap baik diterima baik atau ditolak keduanya. $L_K$ $y$ $K$ $x$ $y$ $~\square$

Sekarang kita hampir selesai:

Prop. Biarkan menjadi kontinu. Jika bersifat rekursif, maka bersifat rekursif. $f$ $L$ $f^{-1}(L)$

Bukti. Di bawah fungsi yang berkesinambungan, preimage lingkungan adalah lingkungan.

Menariknya, saya berpikir bahwa dalam ruang ini fungsi kontinu adalah kontinu seragam: Let kontinu, sehingga untuk setiap titik , untuk setiap terdapat sesuai . Perbaiki dan biarkan . Ada sejumlah bola ukuran terbatas : ada ; lalu ada $f$ $x$ $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $\varepsilon$ $L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ ; kemudian, dan seterusnya. mengaitkan ke masing-masing bahasa inibahasa preimage dengan diameter terkait. Untuk setiap $\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ $L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$ $f$ $L_i$ $L_i^{\prime}$ $\delta_i$ , $x \in L_i^{\prime}$ . Jadi kita bisa mengambil minimal selama ini finitely banyak s untuk mendapatkan seragam kelangsungan konstan terkait dengan ini . $d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $\varepsilon$

— usul
sumber

Clearly

d (x^{'}, y^{'}) \leq \frac{1}{2^{K}}

$d(x',y') \leq \frac{1}{2^K}$ but I still miss how to show that

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$ is recursive!

— Jernej

@Jernej OK, so first, we also have the contrapositive -- if

d (x^{'}, y^{'}) > \frac{1}{2^{K}}

$d(x^{\prime},y^{\prime}) > \frac{1}{2^K}$ then either both are in

L

$L$ or neither is. Now let's take

ϵ = \frac{1}{2^{K}}

$\epsilon = \frac{1}{2^K}$ . Then there is some

δ

$\delta$ so, if

d (x, y) \leq δ

$d(x,y) \leq \delta$ , then

| L \cap {f (x), f (y)} | = 1

$\left| L \cap \{f(x),f(y)\} \right| = 1$ . In particular, let's pick some

x

$x$ with

x^{'} = f (x) \in L

$x^{\prime} = f(x) \in L$ . Now we want to know where all the other elements of

L

$L$ lie relative to

x^{'}

$x^{\prime}$ , and therefore where must the other members of

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$ lie relative to

x

$x$ ?

— usul

@Jernej I have posted my solution now. I hope what I posted earlier was helpful! Thanks for posting this problem, it is very cool.

— usul

Thank you very much for your answer. It took me a while to digest the hints hence I haven't upvoted and accepted your answer!

— Jernej

Pertanyaan cepat. Kami telah menunjukkan bahwa

adalah decidable. Saya tidak melihat bagaimana ini terjadi karena itu bersifat rekursif? Cant itu bahwa salah satu simulasi

tidak pernah perhentian?

L_{K}

$L_K$

T_{j}

$T_j$

— Jernej