Sederhanakan kompleksitas multichoose k

Saya memiliki algoritma rekursif dengan kompleksitas waktu yang setara dengan memilih elemen k dari n dengan pengulangan, dan saya bertanya-tanya apakah saya bisa mendapatkan ekspresi O-besar yang lebih sederhana. Dalam kasus saya, $k$ mungkin lebih besar dari $n$ dan mereka tumbuh secara mandiri.

Secara khusus, saya mengharapkan beberapa ekspresi eksponensial eksplisit. Yang terbaik yang bisa saya temukan sejauh ini adalah berdasarkan perkiraan Stirling $O(n!) \approx O((n/2)^n)$ , jadi saya bisa menggunakannya, tetapi saya bertanya-tanya apakah saya bisa mendapatkan sesuatu yang lebih baik.

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
sumber

Ini tidak persis sangat membantu tetapi sangat menarik perkiraan faktorial Ramanujan

— Pratik Deoghare

Terima kasih,

terlihat seperti pendekatan yang keren, tetapi memang sepertinya tidak membantu menyederhanakan ini.

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$

— yoniLavi

Jawaban:

Sunting: Jawaban ini untuk . Tanpa membatasi dalam hal ekspresi tidak dibatasi. $k<n$ $k$ $n$

Jika maka ekspresi Anda menjadi $k=n-1$ . Perhatikan bahwa dengan rumus Stirling untuk $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$ di manaadalah entropi biner. Khususnya. Karenanya kita memiliki untuk

(\binom{m}{α m}) = Θ (m^{- 1 / 2} 2^{H (α) m}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

HAI ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) .

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

Karena batas atas adalah kasus terburuk (saya biarkan sebagai latihan untuk menunjukkan ini), ekspresi Anda adalah $k=n-1$ . $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— A.Schulz
sumber

Terima kasih, persis apa yang saya cari! dan itu adalah hal lain yang memotivasi saya untuk mempelajari teori informasi.

— yoniLavi

@ Falcor84: Saya mendapat kesalahan ketik yang lebih kecil pada transisi terakhir. Bagian akar kuadrat harus pergi ke penyebut. Karenanya ikatannya sedikit lebih baik daripada yang ditunjukkan oleh Paresh. (Sebenarnya,

— ikatannya

Aku juga seharusnya memperhatikan tanda minus kecil itu, terima kasih lagi.

— yoniLavi

Pernyataan "kiri sebagai latihan" Anda bahwa

adalah kasus terburuk adalah salah. Jika

, ekspresinya adalah

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

. Ini tidak selalu kurang dari

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— Peter Shor

Sejak

, masalahnya simetris dalam

dan

(yang dapat tumbuh tanpa hubungan dalam kasus saya). Oleh karena itu, saya kira, jawaban yang lebih akurat adalah mengganti n pada bagian akhir dari jawaban dengan

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi

Wolfram berkata Sondow (2005) [1] dan Sondow dan Zudilin (2006) [2] mencatat ketidaksetaraan:

\frac{1}{4 r m} {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} < (\binom{(r + 1) m}{m}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

(\binom{n + k - 1}{k}) < (\binom{n + k}{k}) = (\binom{(r + 1) m}{m})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

(\binom{n + k - 1}{k}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} = {(\frac{n + k}{k})}^{n + k}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

$n+k = 2k$ $k = n$

(\binom{n + k - 1}{k}) < 2^{2 n} = 4^{n}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

(\binom{n + k - 1}{k}) = HAI (4^{n})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

(\binom{n + k - 1}{k}) = Ω (\frac{4^{n}}{n})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

Referensi:
[1] Sondow, J. "Masalah 11132." Amer. Matematika Bulanan 112, 180, 2005.
[2] Sondow, J. dan Zudilin, W. "Konstanta, q-logaritma Euler, dan formula Ramanujan dan Gosper" Ramanujan J. 12, 225-244, 2006.

— Paresh
sumber