Kekambuhan

Catatan: ini dari catatan Algoritma JeffE di Recurrences, halaman 5.

(1) Jadi kita mendefinisikan pengulangan tanpa case dasar. Sekarang saya mengerti bahwa untuk sebagian besar kekambuhan, karena kami sedang mencari batas asimptotik, base case tidak masalah. Tetapi dalam kasus ini, saya bahkan tidak melihat di mana kita bisa mendefinisikan kasus dasar. Apakah ada angka yang dijamin akan mengenai kita ketika kita terus mengambil akar kuadrat mulai dari bilangan bulat apa pun. Apakah kita hanya mendefinisikan untuk , untuk beberapa realita , ?$T(n) = \sqrt{n}T(\sqrt{n})+n$$T(n) = a$$n<b$$a$$b$

(2) Pada halaman 7, Erickson mendapatkan bahwa jumlah lapisan dalam pohon rekursi L akan memenuhi . Dari mana datangnya ini? Saya tidak punya ide. Saya melihat bahwa jumlah daun di pohon seharusnya berjumlah , tapi saya tidak tahu harus ke mana dari sana.$n^{{2}^{-L}} = 2$$\sqrt(n)\sqrt(n) = n$

Bantuan apa pun dihargai!

Catatan Saya sedang melihat: http://jeffe.cs.illinois.edu/teaching/algorithms/notes/99-recurrences.pdf

Anda harus benar-benar mengajukan pertanyaan ketiga: apa yang terjadi jika $n$bukan persegi yang sempurna. Jawaban atas pertanyaan ini adalah bahwa perulangan yang sebenarnya seharusnya terjadi$T(\lfloor \sqrt{n} \rfloor)$ atau $T(\lceil \sqrt{n} \rceil)$ dari pada $T(\sqrt{n})$, meskipun dalam analisis kami hanya akan mempertimbangkan input yang kotak "rekursif".

Mengenai pertanyaan pertama Anda, mungkin ada lebih dari satu kasus dasar. Misalnya, mungkin$T(n) = 1$ untuk semua $n \leq 100$. Anda dijamin pada akhirnya mencapai kasing ini. Dalam hal ini, seperti dalam kebanyakan kasus, bentuk persis dari kasus dasar tidak mempengaruhi asimptotik Theta besar (tetapi itu mempengaruhi konstanta tersembunyi).

Akhirnya, mengenai pertanyaan kedua Anda, anggap bahwa kasus dasar Anda menentukan $T(n)$ untuk $n \leq C$. Pohon rekursi (yang merupakan interpretasi khusus dari beberapa fitur rekurensi) memiliki bentuk berikut:

• Root adalah salah satu contoh ukuran $n$.
• Akar sudah $\sqrt{n}$ anak-anak yang merupakan contoh ukuran $\sqrt{n}$.
• Setiap node pada kedalaman 1 memiliki $\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/4}$ anak-anak yang merupakan contoh ukuran $\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/8}$.
• Lebih umum, sebuah simpul di kedalaman $d$ adalah contoh ukuran $n^{1/2^d}$. Anda dapat membuktikan ini dengan induksi dengan memeriksa case$d = 0$ (dimana $n^{1/2^d} = n$) dan menghitung $\sqrt{n^{1/2^d}} = n^{1/2^{d+1}}$.

Rekursi berakhir ketika instance memiliki ukuran paling banyak $C$, dan ini terjadi saat $n^{1/2^d} \leq C$. Pada titik ini terjadi, kita punya$n^{1/2^{d-1}} > C$ (asumsi $n > C$), dan sebagainya $\sqrt{C} < n^{1/2^d} \leq C$. Mengambil logaritma,$\frac{1}{2} \log C < \frac{\log n}{2^d} < \log C$ dan sebagainya $\frac{\log n}{2^d} = \Theta(1)$, menyiratkan $2^d = \Theta(\log n)$. Kita dapat menyimpulkan bahwa$d \approx \log\log n$. Ini adalah jumlah lapisan dalam pohon. Jeff menggunakan$C = 2$, Itulah cara dia mendapatkan formula khususnya.

Menjawab pertanyaan pertama Anda. Alternatif untuk menggunakan batas atas dan batas bawah untuk mencapai kasus dasar, salah satu opsi adalah Anda dapat mengambil bentuk$n$.

Ambil, misalnya, rekursi mergesort:

$$T(n) = 2c \cdot T\left( \frac{n}{2} \right) + c \cdot n$$

Jelas, sebagian besar $n$tidak akan membagi menjadi bilangan bulat secara merata. Maka sangat umum untuk menganggap itu$n$ berbentuk:

$$n = 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}$$

Ini menyiratkan setiap $n$ adalah kekuatan positif $2$, dengan demikian menyelesaikan kasus dasar kami selalu $1$. Atau kita bisa membuat kasing$c$ dari pada $1$ dengan asumsi $n$ berbentuk:

$$n = c \cdot 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$

Kita bisa menerapkan ini pada pengulangan kita:

$$T(n) = \sqrt{n} \cdot T\left(\sqrt{n}\right) + n$$

Menganggap $n$ berbentuk:

$$n = c^{2^k} \quad \quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$ Maka kasus dasar akan selalu menyelesaikan ke konstan $c$.

Sekarang jika Anda dapat membuktikannya dengan asumsi ini, Anda bisa melanjutkan untuk membuktikannya $n$nilai yang tidak memiliki formulir ini. Salah satu pendekatan adalah dengan mencoba mengikatnya dengan yang tertinggi berikutnya (atau terendah)$n$yang memang memiliki bentuk itu.