Apakah set Sebelum dan Setelah untuk tata bahasa bebas konteks selalu bebas konteks?

14

Biarkan $G$ menjadi tata bahasa bebas konteks. Serangkaian terminal dan nonterminals dari $G$ dikatakan menjadi bentuk sentensial dari $G$ jika Anda bisa mendapatkannya dengan menerapkan produksi dari $G$ nol atau beberapa kali untuk simbol awal $S$ . Mari $\operatorname{SF}(G)$ adalah himpunan bentuk sentensial $G$ .

Mari $\alpha \in \operatorname{SF}(G)$ dan membiarkan $\beta$ menjadi substring dari $\alpha$ - kita sebut $\beta$ sebuah fragmen dari $\operatorname{SF}(G)$ . Sekarang mari

$\operatorname{Before}(\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

dan

$\operatorname{After}(\beta) = \{ \delta \ |\ \exists \gamma . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$ .

Apakah bahasa bebas konteks $\operatorname{Before}(\beta)$ dan $\operatorname{After}(\beta)$ ? Bagaimana jika $G$ tidak ambigu? Jika $G$ tidak ambigu, apakah $\operatorname{Before}(\beta)$ dan $\operatorname{After}(\beta)$ juga dijelaskan oleh bahasa bebas konteks yang tidak ambigu?

Ini adalah tindak lanjut dari pertanyaan saya sebelumnya , setelah upaya sebelumnya untuk membuat pertanyaan saya lebih mudah untuk dijawab gagal. Sebuah jawaban negatif akan membuat pertanyaan yang saya kerjakan sangat sulit dijawab.

— Alex ten Brink
sumber

8

Mari kita rasakan dulu dan . Pertimbangkan pohon derivasi yang mengandung ; "mengandung" di sini berarti bahwa Anda dapat memotong sub pohon sehingga adalah subword dari depan pohon. Kemudian, set sebelum (setelah) adalah semua bidang potensial dari bagian pohon kiri (kanan) dari : $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

tree with before and after sets
^{[ sumber ]}

Jadi kita harus membangun tata bahasa untuk bagian pohon yang berjejer secara horizontal. Tampaknya cukup mudah karena kita sudah memiliki tata bahasa untuk seluruh pohon; kita hanya perlu memastikan bahwa semua bentuk sentensial adalah kata-kata (ubah abjad), saring yang tidak mengandung (yang merupakan properti reguler karena sudah diperbaiki) dan potong semua setelah (sebelum) , termasuk . Pemotongan ini juga harus dimungkinkan. $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Sekarang menjadi bukti formal. Kami akan mengubah tata bahasa seperti diuraikan dan penggunaan penutupan sifat untuk melakukan penyaringan dan pemotongan, yaitu kita melakukan bukti non-konstruktif. $\mathrm{CFL}$

Biarkan tata bahasa bebas konteks. Sangat mudah untuk melihat bahwa bebas konteks; membangun seperti ini: $G = (N, T, \delta, S)$ $\operatorname{SF}(G)$ $G'=(N',T',\delta',N_S)$

$N' = \{N_A \mid A \in N\}$
$T' = N \cup T$
$\delta' = \{\alpha(A) \to \alpha(\beta)\mid A\to\beta \in \delta \} \cup \{N_A \to A \mid A\in N\}$

dengan untuk semua dan untuk semua . Jelas bahwa ; oleh karena itu penutupan closure yang sesuai dan suffix closure juga bebas konteks-. $\alpha(t)=t$ $t \in T$ $\alpha(A)=N_A$ $a\in N$ $\mathcal{L}(G')=\operatorname{SF}(G)$ $\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))$ $\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))$

Sekarang, untuk semua bahasa adalah dan . Seperti ditutup di bawah persimpangan dan kanan / kiri quotient dengan bahasa biasa, kita mendapatkan $\beta \in (N\cup T)^*$ $\mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*)$ $\mathcal{L}((N\cup T)^*\beta)$ $\mathrm{CFL}$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Before}(\beta) = (\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}((N\cup T)^*\beta))\,/\,\beta \in \mathrm{CFL}$

dan

. $\qquad \displaystyle \operatorname{After}(\beta) = (\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*))\,\backslash\, \beta \in \mathrm{CFL}$

¹ adalah tertutup di bawah kanan (dan kiri) quotient ; dan sama untuk hasil awalan resp. penutupan akhiran. $\mathrm{CFL}$ $\operatorname{Pref}(L) = L / \Sigma^*$ $\operatorname{Suff}$

— Raphael
sumber

Saya mulai menulis jawaban kemudian menyadari bukti saya sama dengan milik Anda. Aku harus begini (terkompresi cocok di sini): membentuk tata bahasa

dengan menambahkan terminal baru

(metavariable a) untuk setiap non-terminal

dan produksi

. Maka bentuk-bentuk sentensial dari

adalah kata-kata yang dikenali oleh

yang terdiri dari metavariabel. Ini adalah persimpangan CFG dengan bahasa reguler dan dengan demikian teratur. Kumpulan awalan CFG adalah CFG (ambil PDA dan buat setiap negara bagian final).

G^{'}

$G'$

\hat{A}

$\hat A$

A

$A$

A \to \hat{A}

$A\to\hat A$

G

$G$

G

$G$

lagi CFG a.

B e f o r e (γ) = {γ ∣ γ β \in L (P r e f i x (\hat{G}))}

$\mathrm{Before}(\gamma) = \{\gamma \mid \gamma\beta\in L(\mathrm{Prefix}(\hat G))\}$

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

1

@Gilles, tiga komentar tentang itu: 1) bentuk-bentuk sentensial biasanya (dengan benar) mengandung bahasa. 2) "membuat setiap negara final" - itu tidak akan berhasil; Anda juga akan menerima awalan non-kata. 3) Langkah terakhir "memotong" sufiks tampaknya sulit untuk menjadi teliti. : / Apakah Anda memiliki bukti yang ketat tetapi lebih kompak dari milik saya?

— Raphael

1) tidak masalah (ubah

untuk memiliki atau tidak memiliki terminal untuk setiap terminal). 2) Ups, saya memotong terlalu banyak: membuat setiap negara bagian yang dapat mencapai final keadaan final. 3) Lakukan satu terminal

pada satu waktu; di PDA, tandai status dari mana seseorang dapat mencapai kondisi akhir dengan mengonsumsi

sebagai final. Ya, itu akan membutuhkan lebih banyak ekspansi untuk membuat ini ketat.

G

$G$

b

$b$

b

$b$

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

9

Ya, dan adalah bahasa bebas konteks. Begini cara saya membuktikannya. Pertama, sebuah lemma (yang merupakan inti). Jika adalah CF maka: $\mbox{Before}(\beta)$ $\mbox{After}(\beta)$ $L$

$\mbox{Before}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in L \}$

dan

$\mbox{After}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \delta \beta \gamma \in L \}$

adalah CF.

Bukti? For membuat transduser kondisi-terbatas non-deterministik yang memindai string, mengeluarkan setiap simbol input yang dilihatnya dan secara simultan mencari secara deterministik . Setiap kali melihat simbol pertama ia bercabang secara non-deterministik dan berhenti menghasilkan simbol sampai ia selesai melihat atau terlihat melihat simbol yang menyimpang dari , berhenti pada kedua kasus. Jika melihat $\mbox{Before}(L,\beta)$ $T_{\beta}$ $\beta$ $T_{\beta}$ $\beta$ $\beta$ $\beta$ $T_{\beta}$ $\beta$ secara penuh, ia menerima pada saat berhenti, yang merupakan satu-satunya cara ia menerimanya. Jika ia melihat penyimpangan dari , ia menolak. $\beta$

Lemma bisa disulap untuk menangani kasus-kasus di mana bisa tumpang tindih dengan dirinya sendiri (seperti - terus mencari bahkan saat di tengah-tengah scanning untuk sebelum ) atau muncul beberapa kali (sebenarnya, asli non-determinisic forking sudah menangani itu). $\beta$ $abab$ $\beta$ $\beta$

Sudah cukup jelas bahwa , dan karena CFL ditutup di bawah transduksi keadaan-terbatas, adalah CF. $T_\beta(L) = \mbox{Before}(L,\beta)$ $\mbox{Before}(L,\beta)$

Argumen serupa berlaku untuk , atau bisa juga dilakukan dengan pembalikan string dari , CFL juga ditutup dengan pembalikan: $\mbox{After}(L,\beta)$ $\mbox{Before}(L,\beta)$

$\mbox{After}(L,\beta) = \mbox{rev}(\mbox{Before}(\mbox{rev}(L),\mbox{rev}(\beta)))$

Sebenarnya, sekarang saya melihat argumen pembalikan, akan lebih mudah untuk memulai dengan , karena transduser untuk itu lebih mudah untuk dijelaskan dan diverifikasi - itu menghasilkan string kosong sambil mencari . Ketika menemukan itu bercabang non-deterministik, satu garpu terus mencari salinan lebih lanjut dari , garpu lainnya menyalin semua karakter berikutnya secara verbatim dari input ke output, menerima semua sementara. $\mbox{After}(L,\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Yang tersisa adalah membuat ini berfungsi untuk bentuk sentensial serta CFL. Tapi itu cukup mudah, karena bahasa bentuk sentimental CFG itu sendiri adalah CFL. Anda dapat menunjukkan bahwa dengan mengganti setiap non-terminal di seluruh dengan mengatakan , menyatakan sebagai terminal, dan menambahkan semua produksi ke tata bahasa. $X$ $G$ $X^\prime$ $X$ $X^\prime \rightarrow X$

Saya harus memikirkan pertanyaan Anda tentang ambiguitas.

— David Lewis
sumber