Algoritma acak untuk 3SAT

Ada algoritma acak yang sangat sederhana yang, diberikan 3SAT, menghasilkan penugasan yang memenuhi setidaknya 7/8 dari klausa (dengan harapan): pilih penugasan acak. Penugasan acak memenuhi setiap klausa dengan probabilitas 7/8, dan dengan demikian linearitas harapan menunjukkan bahwa fraksi yang diharapkan dari klausa yang dipenuhi oleh penugasan acak adalah 7/8.

Bisakah ini dilakukan dengan cara yang deterministik? Jika demikian, mengapa kita tertarik dengan algoritma acak?

Algoritma penugasan acak dapat derandomized (dibuat deterministik) menggunakan metode ekspektasi bersyarat.

Biarkan instance 3SAT terdiri dari klausa $C_1,\ldots,C_m$. Selama algoritma, kami akan memberikan nilai ke variabel. The skor klausa$C$ didefinisikan sebagai berikut:

• Jika $C$ puas maka nilainya adalah 1.
• Jika $C$ tidak puas dan telah $k$ literal yang belum ditetapkan maka nilainya adalah $1-2^{-k}$.

Awalnya skor setiap klausa adalah $1-2^{-3} = 7/8$, dan total skornya adalah $(7/8) m$. Kami sekarang memberikan nilai ke variabel$x_1,\ldots,x_n$dalam urutan. Misalkan kita telah menetapkan nilai ke variabel$x_1,\ldots,x_{i-1}$, dan skor total saat ini adalah $S = S(C_1)+\cdots+S(C_m)$. Membiarkan$S_0,S_1$ skor total jika kita menetapkan nilai $0,1$ (masing-masing) ke $x_i$. Saya mengklaim itu$S_0(C)+S_1(C) = 2S(C)$ untuk setiap klausa $C$, dan sebagainya $S_0 + S_1 = 2S$. Memang:

• Jika $C$ puas (hanya diberikan $x_1,\ldots,x_{i-1}$) atau tidak mengandung $x_i$ kemudian $S_0(C) + S_1(C) = 2S(C)$.
• Seandainya $C$ mengandung $k$ literal yang belum ditetapkan, termasuk $x_i$. Kemudian$S(C) = 1-2^{-k}$, $S_0(C) = 1-2^{-(k-1)}$, dan $S_1(C) = 1$. Karena itu $$S_0(C) + S_1(C) = [1 - 2 \cdot 2^{-k}] + 1 = 2(1 - 2^{-k}) = 2S(C).$$
• Argumen serupa bekerja ketika $C$ mengandung $\bar{x}_i$.

Sejak $S_0 + S_1 = 2S$, antara $S_0 \geq S$ atau $S_1 \geq S$(mungkin keduanya). Karena itu ada beberapa tugas untuk$S$ sedemikian rupa sehingga setelah penugasan, skor baru setidaknya $S$.

Skor awal adalah $(7/8)m$dan algoritma memastikan bahwa skor tidak pernah berkurang. Pada akhirnya, skor klausa$C$ adalah 1 jika sudah puas dan $1-2^{-0}=0$jika tidak. Dengan demikian tugas akhir memuaskan setidaknya$(7/8)m$ klausa.

Mengingat ada algoritma deterministik, mengapa kita tertarik pada yang acak? Ada beberapa alasan:

1. Algoritma acak jauh lebih sederhana.
2. Algoritma acak berpotensi lebih cepat.
3. Algoritma acak dapat dikonversi menjadi deterministik menggunakan metode ekspektasi bersyarat; kita dapat menganggapnya sebagai resep untuk membangun algoritma deterministik.

Lebih umum, hal ini diduga bahwa setiap algoritma polytime acak untuk masalah keputusan dapat diderandomisasi (ini adalah $\mathsf{P}=\mathsf{BPP}$dugaan). Algoritma acak masih akan menarik karena semua alasan yang disebutkan di atas.