Mengapa


22

Saya ingin tahu apakah ada aturan untuk membuktikan ini. Misalnya, jika saya menggunakan hukum distributif, saya hanya akan mendapatkan .(AA)(A¬B)


2
Selamat Datang di Ilmu Komputer! Apa yang sudah kamu coba? Di mana Anda terjebak? Kami tidak ingin hanya memberikan Anda solusinya; kami ingin Anda mendapatkan pemahaman. Namun, karena kami tidak tahu apa masalah mendasar Anda, jadi kami tidak dapat mulai membantu. Lihat di sini untuk kiat mengajukan pertanyaan tentang masalah olahraga. Jika Anda tidak yakin bagaimana meningkatkan pertanyaan Anda, mengapa tidak bertanya-tanya dalam Obrolan Ilmu Komputer ?
Raphael

Makhluk yang sejati diperlukan di kedua kondisi dan itu cukup untuk yang di sebelah kiri.
Millie Smith

Jawaban:


55

Saya menemukan gambar yang bagus untuk apa saja yang cukup sederhana untuk menggunakannya, ini adalah.

Diagram yang diberikan

Ingat:

DAN berarti area diambil oleh kedua hal. Jadi yang di tengah adalah apa yang diambil di luar B, tetapi juga di dalam A. Persimpangan mereka tidak dihitung karena berada di dalam A tetapi tidak di luar B.

ATAU berarti dicakup oleh salah satu atau keduanya. Keduanya menutupi bagian A yang berada di luar B, dan persimpangan ditutupi oleh A (gambar pertama) sehingga dihitung juga. Semua dalam semua, Anda hanya memiliki A lagi.

Maaf jika ini terlalu sederhana, tidak yakin pada level apa Anda berada.


Untuk kelengkapan, bisa jadi baik untuk menunjukkan kasus di mana B dan A terpisah, dan kasus lain di mana B adalah A.
Eric Duminil

11
@EricDuminil saya tidak setuju. Hal yang hebat tentang pekerjaan diagram Venn ini adalah valid apakah salah satu wilayah kosong atau tidak.
Mark S.

3
+1 untuk respons Mark S. Hal tentang diagram Venn, dan alasan mereka masih (saya harap!) Mengajar di kelas matematika sekolah menengah, adalah bahwa mereka benar - benar berfungsi . Jika Anda (Eric) bertanya-tanya "tetapi bagaimana jika B dan A terpisah? ..." maka Anda belum mengerti apa yang sebenarnya mewakili diagram Venn. Ini mewakili empat kemungkinan logis sebagai empat wilayah geometris: (A&B) [wedge tengah], (A & ~ B) [sabit kiri], (~ A & B) [sabit kanan], dan (~ A & ~ B) [sisa dari halaman]. Mewarnai mereka seperti yang dilakukan Erin membantu kita memvisualisasikan masalah logis sebagai masalah geometris .
Quuxplusone

@EricDuminil (dimaksudkan untuk siapa saja yang membaca ini di masa depan) jika mereka terpisah, yang di tengah hanya akan menjadi A (tidak ada bagian dari A di dalam B) sehingga Anda memiliki A atau A = A, dan jika A = B, tengah akan kosong (tidak ada bagian dari A di luar B) sehingga Anda akan memiliki A atau tidak sama sekali = A
Erin

1
@ Djechlin: Saya lelah. Jika A adalah B, Anda dapat mengabaikan bagian kiri dan kanan.
Eric Duminil

48

Ada banyak cara untuk melihatnya. Salah satunya adalah tabel kebenaran. Lain adalah dengan menggunakan aturan distributif:

A(A¬B)=(A)(A¬B)=A(¬B)=A=A.

Pada langkah kedua, bukankah tanda yang sama itu berarti hubungan ekivalensi?
KumarAnkit

Saya menggunakan = dalam arti biasa, seperti pada 2 + 2 = 4.
Yuval Filmus

ok, bisakah Anda menjelaskan transisi langkah kedua ke langkah ketiga?
KumarAnkit

9

Saya akan menggunakan aturan inferensi paling favorit saya: Disjunction Elimination . Pada dasarnya, dikatakan bahwa jika mengikuti dari P , dan R mengikuti dari Q , maka R harus benar jika P Q : ( P R ) , ( Q R ) , ( P Q ) RRPRQRPQ

(PR),(QR),(PQ)R

Jadi mari kita asumsikan . Set P = A , Q = A ¬ B , R = A dan menerapkan aturan:A(A¬B)P=AQ=A¬BR=A

  • Jika ( = A ) kita selesai.P=A
  • Jika maka A (dengan eliminasi konjungsi, S T S )Q=A¬BASTS
  • Dengan disjunction eliminasi .A(A¬B)A

Kebalikannya sepele: asumsikan , lalu oleh salah satu varian dari perkenalan konjungsi ( S S T untuk setiap T ) A A ( ) .ASSTTAA()

Berikut adalah diagram dari bukti ini:

Bukti yang Diberikan


4
Maaf, bagaimana Anda menggambar diagram itu? Aku mencium aroma Coq yang samar.
Tobia Tesan

1
@TobiaTesan Saya adalah orang yang "menggambar" diagram. Saya menggunakan perangkat lunak yang disebut slate untuk melakukannya.
Sriotchilism O'Zaic

1
@EpsilonNeroundWatch: terima kasih banyak. Maafkan saya karena telah menyalahgunakan kesabaran Anda, tetapi bisakah perangkat lunak itu diperoleh dengan cara apa pun? Tautan di tajuk (www.cogsci.rpi.edu/slate) tampaknya mati
Tobia Tesan

@TobiaTesan Visio Microsoft dapat digunakan untuk menggambar diagram seperti itu juga. Jika Anda berafiliasi dengan universitas atau perusahaan besar yang menawarkan perangkat lunak Microsoft kepada mahasiswa / karyawan, atau jika Anda memiliki langganan MSDN, Anda mungkin sudah memiliki akses berbayar untuk itu.
Nat

@Nat Sure (atau Anda dapat mengatur dan melakukannya di TikZ: P), tapi saya mendapat kesan bahwa hal yang digunakan oleh EpsilonNeolitanWatch memiliki fitur asisten bukti, maka minat saya :) FWIW Proof General dapat melakukan sesuatu seperti ini, tetapi visualisasi pohon bukti jauh lebih jelek.
Tobia Tesan

5

CDCD=DDCD

C=A¬BD=A


3

Tampilan yang lebih intuitif:

Aadalah selalu benar ketika Abenar.

A & -Badalah hanya benar ketika Abenar.

Secara intuitif, menerapkan ATAU pada keduanya akan menghasilkan hasil Cyang selalu benar ketika Abenar. Karena itu, Cselalu benar ketika Aitu benar.

(Berhenti membaca di sini jika penjelasan ini cocok untuk Anda.)

Ini adalah bagaimana saya memikirkan masalah ini. Namun, penjelasan ini tidak lengkap karena yang kami tunjukkan hanyalah itu A -> Cdan tidak A <-> C.

Jadi, mari kita tunjukkan juga C -> A.

Aadalah selalu palsu ketika Aadalah palsu.

A & -Badalah selalu palsu ketika Aadalah palsu.

Secara intuitif, menerapkan ATAU pada keduanya akan menghasilkan hasil Cyang selalu salah ketika Asalah. Karena itu, Cselalu salah ketika Asalah; -A -> -C, yang merupakan hal yang sama dengan C -> A.

Begitu A -> Cdan C -> Abegitu A <-> C.


3

Terkadang, orang bingung dengan surat-surat itu. Orang menyukai makanan, karena mudah dipikirkan.

Berpura-pura saya meminta Anda untuk melempar koin untuk memilih antara satu atau yang lain dari dua opsi berikut:

  • Apple, ATAU ...
  • Apple, dan jelas tidak Banana.

[Yang pertama sama dengan "A", yang kedua "A dan bukan B". Tapi jangan pikirkan suratnya. Pikirkan tentang apel, dan apakah Anda juga mendapatkan pisang.]

Yang pertama itu benar-benar berarti "Sebuah apel fersure, dan mungkin Anda akan mendapatkan pisang."

Jadi meninggalkan sesuatu sama dengan mengatakan "mungkin".

Melihat mereka sebagai pasangan, apa pun yang Anda dapatkan, pasti akan ada Apple yang terlibat. Yay. Dan jika koin Anda mengambil yang tepat, Anda mungkin mendapatkan Pisang.

Tapi bukankah itu sama dengan mengatakan "mungkin Anda akan mendapatkan Pisang"? Hanya, dengan setengah kemungkinan?

Jadi yang bisa Anda katakan secara logis adalah, Anda akan mendapatkan Apple. Anda tidak dapat mengatakan apa-apa tentang apakah Anda akan mendapatkan Pisang.


3

Mirip dengan jawaban Yuval Filmus. Menggunakan aljabar boolean, dalam nota teknik, dan memfaktorkan (atau memfaktorkan) A.

A+AB¯=A(1+B¯)=A1=A


3

Sepertinya belum ada yang menyebutkannya, jadi saya akan melanjutkan.

Hukum untuk menangani masalah-masalah semacam ini adalah hukum serapan yang menyatakan bahwa pv (p ^ q) = p dan juga bahwa p ^ (pvq) = p. Jika Anda mencoba menggunakan hukum distributif tentang ini, itu akan membuat Anda berputar terus selamanya:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Saya menggunakan simbol yang salah untuk tidak dan sama tetapi intinya di sini adalah bahwa ketika Anda pergi dalam lingkaran / ketika ada dan-atau ketidakcocokan biasanya Anda harus melihat ke hukum absoprtion.

B tidak relevan dengan hasilnya karena Anda akan perhatikan jika meletakkan ini di tabel kebenaran.


Ini cocok dengan jawaban apel dan pisang
Erin

1
@ Erin +1 Lebih lanjut, ini memberikan aturan, sedangkan jawaban apel dan pisang hanya meminta intuisi, dan OP meminta aturan, bukan intuisi.
Rosie F

2

Cara intuitif lain untuk melihat ini:

Jika A adalah himpunan, maka kita dapat mengatakan objek apa pun yang diberikan adalah (dalam A) atau (tidak dalam A).

Sekarang lihat S = A atau (A dan bukan B) :

  • Jika suatu objek berada di A, maka "A atau apa pun" berisi semua elemen dalam A, sehingga objek tersebut juga akan berada di S.

  • Jika suatu objek tidak dalam A, maka "A dan apa pun" mengecualikan semua elemen tidak dalam A, jadi objek tidak dalam A maupun dalam (A dan bukan B), jadi itu bukan dalam S.

Jadi hasilnya adalah bahwa objek apa pun di A adalah di S, dan objek apa pun yang tidak di A tidak di S. Jadi secara intuitif, objek di S harus persis di A, dan tidak ada objek lain.

Ketika dua set memiliki elemen yang identik, mereka didefinisikan sebagai set yang sama. Jadi A = S.


2

Metode sederhana yang selalu dapat Anda gunakan jika Anda mengalami kesulitan adalah analisis kasus.

A

A

A


0
lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.