Saya melihat banyak masalah algoritmik yang selalu mengecil menjadi sesuatu seperti:

Anda memiliki array integer , Anda harus menemukan sedemikian sehingga memaksimalkan dalam waktu .$h[1..n]\geq 0$$i,j$$(h[j]-h[i])(j-i)$$O(n)$

Jelas solusi waktu adalah untuk mempertimbangkan semua pasangan, namun, adakah cara kita dapat memaksimalkan ekspresi dalam tanpa mengetahui hal lain tentang properti ?$O(n^2)$$O(n)$$h$

Satu ide yang saya pikirkan adalah untuk memperbaiki , maka kita perlu menemukan dari hingga yang sama dengan atau dan karena sudah diperbaiki, maka kita memerlukan .$j$$i^*$$1$$j-1$$\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$$\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$$j$$\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

Namun, saya tidak melihat cara menyingkirkan istilah tergantung di dalam. Ada bantuan?$j$

Ini adalah solusi . Sebuah solusi ditunjukkan oleh Willard Zhan ditambahkan pada akhir jawaban ini.O ( n )$O(n\log n)$$O(n)$

$O(n\log n)$ solusi

Untuk kenyamanan, tunjukkan .$f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$

Tentukan , dan menjadi indeks terkecil sehingga dan . Demikian pula, definisikan , dan menjadi indeks terbesar sehingga dan . Urutan dan mudah untuk dihitung dalam waktu .l i l i > l i - 1 h [ l i ] < h [ l i - 1 ] r 1 = n r i r i < r i - 1 h [ r i ] > h [ r i - 1 ] l 1 , l 2 , . . $l_1=1$$l_i$$l_i>l_{i-1}$$h[l_i]<h[l_{i-1}]$$r_1=n$$r_i$$r_i<r_{i-1}$$h[r_i]>h[r_{i-1}]$$l_1,l_2,...$$r_1,r_2,\ldots$$O(n)$

Kasus di mana tidak ada sehingga (yaitu ) adalah sepele. Kami sekarang fokus pada kasus-kasus non-sepele. Dalam kasus seperti itu, untuk menemukan solusinya, kita hanya perlu mempertimbangkan pasangan semacam itu.h [ i ] < h [ j ] f ( i , j ) > $i<j$$h[i]< h[j]$$f(i,j)>0$

Untuk setiap sehingga h [ i ] < h [ j ] , biarkan kamu menjadi indeks terbesar sehingga l u ≤ i , dan v menjadi indeks terkecil sehingga r v ≥ j , lalu h [ l u ] ≤ h [ i ] (jika tidak l u + 1 ≤ i oleh definisi l u + $i<j$$h[i]<h[j]$$u$$l_u\le i$$v$$r_v\ge j$$h[l_u]\le h[i]$$l_{u+1}\le i$$l_{u+1}$, dengan demikian bertentangan dengan definisi ), dan juga h [ r v ] ≥ h [ j ] . Oleh karena itu ( h [ r v ] - h [ l u ] ) ( r v - l u ) ≥ ( h [ j ] - h [ i ] ) ( r v - l u ) ≥ ( h $u$$h[r_v]\ge h[j]$ Ini berarti kita hanya perlu mempertimbangkan pasangan ( l u , r v ) di mana l u < r v .

Nyatakan , kita memiliki lemma berikut.$v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

Sepasang mana l u < r v , dan di mana ada u 0 sehingga u < u 0 dan v < v ( u 0 ) atau sedemikian sehingga u > u 0 dan v > v ( u 0 ) , tidak bisa menjadi solusi optimal akhir.$(l_u,r_v)$$l_u<r_v$$u_0$$u<u_0$$v<v(u_0)$$u>u_0$$v>v(u_0)$

Bukti. Menurut definisi , kita memiliki ( h [ r v ( u 0 ) ] - h [ l u 0 ] ) ( r v ( u 0 ) - l u 0 ) ≥ ( h [ r v ] - h [ l u 0 ] ) ( r v - $v(u_0)$ atau (h[rv]-h[r v ( u 0 ) ])l u 0 +h[l u 0 ](rv-r v ( u 0 ) )+h[r v ( u 0 ) ]r v ( u 0 )

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

Dalam kasus di mana dan v < v ( u 0 ) , catat h [ r v ] - h [ r v ( u 0 ) ] < 0 dan r v - r v ( u 0 ) > 0 , dan juga l u < l u 0 dan h [ l u ] > $u<u_0$$v<v(u_0)$$h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$$r_v-r_{v(u_0)}>0$$l_u<l_{u_0}$ , kita memiliki $h[l_u]>h[l_{u_0}]$

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

Ini berarti atau (h[ r v ( u 0 ) ]-h[ l u ])( r v ( u 0 ) - l u )>(h[ r v ]-h[ l u ])( r v - l u )

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

$(l_u,r_{v(u_0)})$$(l_u,r_v)$$\blacksquare$

$v(\ell/2)$$\ell$$l_1,l_2,\ldots$$o_1$$(l_u,r_v)$$u=1,\ldots,\ell/2-1$$v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$$o_2$$(l_u,r_v)$$u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$$v=1,\dots,v(\ell/2)$$\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

$O(n)$

$f(l_u,r_v)=-\infty$$l_u\ge r_v$$u>u_0$$v>v_0$$f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$$f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$$M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$$c$$r_1,r_2,\ldots$$r_{c-y+1}$$y$$M$$f$