Mengapa kesehatan menyiratkan konsistensi?


12

Saya sedang membaca pertanyaan Konsistensi dan kelengkapan menyiratkan kesehatan? dan pernyataan pertama di dalamnya mengatakan:

Saya mengerti bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi.

Yang saya cukup bingung karena saya pikir kesehatan adalah pernyataan yang lebih lemah daripada konsistensi (yaitu saya pikir sistem yang konsisten harus sehat tetapi saya kira itu tidak benar). Saya menggunakan definisi informal yang digunakan Scott Aaronson dalam kuliah 6.045 / 18.400 di MIT untuk konsistensi dan Tingkat Kesehatan:

  1. Tingkat Kesehatan = Sistem bukti adalah suara jika semua pernyataan yang dibuktikan benar-benar benar (semua yang terbukti adalah Benar). yaitu JIKA ( ϕ dapat dibuktikan)( ϕ Benar). Jadi JIKA (ada jalur ke rumus) LALU (rumus itu Benar)
  2. Konsistensi = sistem yang konsisten tidak pernah membuktikan A dan NOT (A). Jadi hanya satu A atau negasinya yang bisa Benar.

Dengan menggunakan definisi tersebut (mungkin informal) dalam pikiran saya membangun contoh berikut untuk menunjukkan bahwa ada sistem yang sehat tetapi tidak konsisten:

CharlieSystem{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT()}}

Alasan mengapa saya pikir itu adalah sistem suara adalah karena dengan asumsi aksioma itu benar. Jadi A dan bukan A keduanya benar (ya saya tahu hukum menengah tidak termasuk). Karena satu-satunya aturan inferensi adalah negasi kita mendapatkan bahwa kita dapat mencapai A dan bukan A dari aksioma dan mencapai satu sama lain. Dengan demikian, kami hanya mencapai pernyataan Benar sehubungan dengan sistem ini. Namun, tentu saja sistem tidak konsisten karena kita dapat membuktikan negasi dari satu-satunya pernyataan dalam sistem. Karena itu, saya telah menunjukkan bahwa sistem suara mungkin tidak konsisten. Mengapa contoh ini salah? Apa kesalahan yang telah aku perbuat?

Di kepala saya ini masuk akal karena kesehatan hanya mengatakan bahwa begitu kita mulai dari dan aksioma dan memutar aturan inferensi kita hanya mencapai di tujuan (yaitu pernyataan) yang Benar. Namun, itu tidak benar-benar mengatakan tujuan mana kita tiba. Namun, konsistensi mengatakan bahwa kita hanya dapat mencapai tujuan yang mencapai atau (keduanya tidak keduanya). Jadi setiap sistem yang konsisten harus memasukkan hukum menengah yang dikecualikan sebagai aksioma, yang tentu saja tidak saya lakukan dan kemudian hanya memasukkan negasi dari satu-satunya aksioma sebagai satu-satunya aksioma lainnya. Jadi tidak terasa saya melakukan sesuatu yang terlalu pintar, tetapi entah bagaimana ada yang salah?¬ AA¬A


Saya baru sadar itu bisa menjadi masalah karena saya menggunakan definisi informal Scott. Bahkan sebelum saya menulis pertanyaan saya sudah memeriksa wikipedia tetapi definisi mereka tidak masuk akal bagi saya. Khususnya bagian yang mereka katakan:

sehubungan dengan semantik sistem

kutipan lengkap mereka adalah:

setiap rumus yang dapat dibuktikan dalam sistem secara logis valid sehubungan dengan semantik sistem.


Semua sistem kami tertarik di dapat kontradiksi berasal dari dan . ¬ AA¬A
Yuval Filmus

@YuvalFilmus Saya rasa saya tidak mengerti apa arti komentar Anda ... apakah itu berarti bahwa dengan aksioma saya, Anda selalu dapat memperoleh kontradiksi? Itu semacam maksud saya, bukan? Maaf saya tidak mengerti. Saya pikir pertanyaan saya hanya tentang semantik dari kata "kesehatan" dan "konsistensi" karena contoh saya hanya berurusan dengan mengkategorikan "sistem logika" yang saya buat.
Charlie Parker

Ini berarti bahwa sistem Anda tidak begitu menarik. Semua sistem yang muncul dalam penelitian cukup kuat untuk mendapatkan kontradiksi dalam pengaturan ini.
Yuval Filmus

1
@YuvalFilmus sistem saya tidak seharusnya menjadi "menarik" untuk melakukan matematika sungguhan, tentu saja saya tahu itu. Sistem saya didefinisikan secara pedagogis untuk membuat pertanyaan saya jelas dan sederhana tentu saja dan mengklarifikasi kebingungan yang saya miliki sehubungan dengan kesehatan dan konsistensi. Tetapi dalam ceramah yang saya tautkan, Scott mengatakan kemudian bahwa Kesehatan karena berbicara tentang Kebenaran "nyata", harus konsisten karena Kebenaran harus konsisten dengan dirinya sendiri (yaitu Benar tidak bisa sama dengan Salah). Jadi sepertinya Sound system hanya diwarisi oleh aksioma tengah yang dikecualikan secara otomatis. Apakah pemahaman saya saat ini.
Charlie Parker

Apakah dan keduanya benar? Jika tidak, lalu bagaimana bunyinya? ¬ AA¬A
user253751

Jawaban:


16

Saya sarankan melihat ke dalam logika formal di luar deskripsi, tangan-bergelombang bergelombang. Ini menarik dan sangat relevan dengan ilmu komputer. Sayangnya, terminologi dan fokus sempit bahkan buku teks khusus tentang logika formal dapat menyajikan gambaran yang membingungkan tentang apa itu logika. Masalahnya adalah bahwa sebagian besar waktu ketika matematikawan berbicara tentang "logika", mereka (sering secara implisit) berarti logika proposisional klasik atau logika orde pertama klasik. Walaupun ini adalah sistem logis yang sangat penting, mereka tidak jauh dari luasnya logika. Bagaimanapun, apa yang akan saya katakan sebagian besar terjadi dalam konteks yang sempit itu, tetapi saya ingin memperjelas bahwa itu terjadi dalam konteks tertentu dan tidak perlu benar di luarnya.

Pertama, jika konsistensi didefinisikan sebagai tidak membuktikan dan , apa yang terjadi jika logika kita bahkan tidak memiliki negasi atau jika¬ A ¬A¬A¬berarti sesuatu yang lain? Jelas, gagasan konsistensi ini membuat beberapa asumsi tentang konteks logis di mana ia beroperasi. Biasanya, ini adalah bahwa kita bekerja dalam logika proposisional klasik atau beberapa perluasannya seperti logika orde pertama klasik. Ada beberapa presentasi, yaitu daftar aksioma dan aturan, yang bisa disebut logika proposisional / urutan pertama klasik tetapi, untuk tujuan kita, yang tidak terlalu penting. Mereka setara dalam beberapa hal yang sesuai. Biasanya, ketika kita berbicara tentang sistem logis yang kita maksud adalah teori orde pertama (klasik). Ini dimulai dengan aturan dan aksioma (logika) logika klasik orde pertama, yang Anda tambahkan simbol fungsi yang diberikan, simbol predikat, dan aksioma (disebut aksioma non-logis). Teori-teori orde pertama ini biasanya apa yang kita

Selanjutnya, kesehatan biasanya berarti kesehatan sehubungan dengan semantik. Konsistensi adalah sifat sintaksis yang berkaitan dengan bukti formal apa yang dapat kita buat. Soundness adalah properti semantik yang berkaitan dengan bagaimana kita menafsirkan rumus, simbol fungsi, dan simbol predikat menjadi objek dan pernyataan matematika. Untuk bahkan mulai berbicara tentang kesehatan, Anda perlu memberikan semantik, yaitu interpretasi dari hal-hal yang disebutkan di atas. Sekali lagi, kita memiliki pemisahan antara penghubung logis dan aksioma logis, dan simbol fungsi, simbol predikat, dan aksioma non-logis. Apa yang membuat konektifitas terhubung dan aksioma logis. Aksioma logis dari sudut pandang semantik adalah bahwa mereka diperlakukan secara khusus oleh semantik sementara simbol fungsi, simbol predikat, dan aksioma non-logis tidak.[[[φψ]]=[[φ]][[ψ]] mana saya menggunakan sebagai interpretasi dari rumus . Secara khusus, mana adalah set domain. Idenya adalah rumus diartikan sebagai himpunan (tupel) elemen domain yang memenuhi rumus. Rumus tertutup (yaitu yang tanpa variabel bebas) ditafsirkan sebagai hubungan nullary yang mengatakan subset dari himpunan singleton yang hanya dapat berupa singleton atau himpunan kosong. Rumus tertutup adalah "benar" jika tidak diartikan sebagai set kosong. Kesehatan adalah pernyataan bahwa setiap formula yang terbukti (tertutup) adalah "benar" dalam pengertian di atas.φ [[[φ]]φD[[¬φ]]=D[[φ]]D

Mudah dari sini, bahkan dari sketsa yang saya berikan, untuk membuktikan bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi (dalam konteks logika orde pertama klasik dan semantik yang telah saya sketsa). Jika logika Anda adalah suara, maka setiap dibuktikan rumus menafsirkan sebagai satu set non-kosong, tapi yang selalu diartikan sebagai himpunan kosong tidak peduli apa rumus adalah, dan sehingga tidak dapat dibuktikan, yaitu logika Anda konsisten.[

[[φ¬φ]]=[[φ]](D[[φ]])=
φ[[φ¬φ]]φ

2
jangan ragu untuk merekomendasikan saya buku tentang logika, saya tidak benar-benar tahu apa referensi yang baik, terutama untuk pemula dalam logika. Yang lucu adalah saya telah mengambil algoritma dan analisis nyata, jadi saya tidak pernah benar-benar berpikir keras tentang logika itu sendiri.
Charlie Parker

1
menarik, saya selalu berpikir bahwa "kebenaran" berarti bahwa kami memetakan pernyataan ke nilai boolean 0 dan 1. Tapi sepertinya itu tidak benar. Saya kira kita dapat memperbaiki model saya yang salah dengan memiliki set peta kosong ke 0 dan non-kosong ke 1. Jika tidak, saya tidak yakin bagaimana seseorang dapat menulis ulang bukti Anda dalam "definisi saya tentang kebenaran sebagai fungsi pemetaan ke 1 atau 0 ".
Charlie Parker

1
Itulah semantik tipikal untuk logika proposisional klasik , yang dapat dilihat sebagai kasus khusus dari logika orde pertama klasik di mana semua predikat adalah nol. Nilai-nilai "kebenaran" Boolean memang memetakan ke set kosong dan set tunggal dalam tampilan ini. Salah satu poin yang tidak terlalu mencolok dari paragraf pertama saya adalah menyarankan bahwa logika yang berbeda memiliki gagasan semantik yang berbeda. Bahkan untuk logika tetap, ada beberapa kemungkinan semantik yang bisa diberikan untuk itu. Ada alasan saya mengatakan "semantik khas" dan bukan hanya "semantik".
Derek Elkins meninggalkan SE

1
Derek, jika Anda punya waktu, apakah Anda keberatan membuat contoh konkret domain dan bagaimana domain itu mengarah ke set kosong? (Saya juga senang membuat pertanyaan baru jika Anda mau) Saya ada dalam pikiran contoh tetapi tidak tahu bagaimana menyelesaikannya. Contoh menunjukkan bahwa 2 adalah rasional DAN 2 adalah irasional mengarah ke set kosong (atau dengan ). Saya ada dalam pikiran D adalah tuple of integer. Kemudian Dipetakan ke tetapi saya tidak yakin apa yang dipetakan Dipetakan ke. Apakah Anda tahu cara menyelesaikan contoh ini dengan cara yang masuk akal? Atau tunjukkan saya pada contoh? [2( 2 , 1 ) [[[2 is rational]](2,1)[[2 is irrational ]]
Charlie Parker

1
Di situlah filosofi matematika yang masuk. Platonis percaya kebenaran dari pernyataan teori set (katakanlah) hanya diketahui tanpa perlu bantuan logika. Bagi mereka, ekspresi teoretis himpunan adalah makna dari rumus logis. Formalis akan menggunakan sintaksis, daripada pendekatan semantik, yaitu "true" = "provable". Konstruktivis memiliki gagasan berbeda tentang "kebenaran" dan sub-sekolah yang lebih berorientasi komputasi akan menyaksikan "kebenaran" melalui suatu program.
Derek Elkins meninggalkan SE

3

Kesehatan dan konsistensi adalah sifat dari sistem deduktif. Kesehatan hanya dapat didefinisikan sehubungan dengan beberapa semantik yang diasumsikan diberikan secara independen dari sistem deduktif.

Dalam ranah semantik, kedua sifat itu saling berkaitan

Definisi 1 ( Tingkat Kesehatan [Semantik] - dipinjam dari Wikipedia ) Tingkat kesehatan dari sistem deduktif adalah sifat bahwa setiap kalimat yang dapat dibuktikan dalam sistem deduktif juga berlaku pada semua interpretasi atau struktur teori semantik untuk bahasa yang menjadi dasar teori tersebut berdasarkan.

Definisi 2 ( Konsistensi [Semantik] ) Satu set kalimat dalam bahasa konsisten jika dan hanya jika terdapat struktur bahasa yang memenuhi semua kalimat di . Sistem deduktif konsisten jika ada struktur yang memenuhi semua formula yang terbukti di dalamnya.L L AALLA

Dengan dua definisi yang diberikan di atas jelas bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi. Yaitu jika himpunan semua kalimat yang dapat dibuktikan memegang semua struktur bahasa maka ada setidaknya satu struktur yang memuaskan mereka.


1
sebenarnya saya menghindari wikipedia secara eksplisit karena saya tidak mengerti apa artinya "sehubungan dengan semantik". Apakah Anda keberatan menjelaskan apa artinya itu? Juga apakah Anda keberatan menjelaskan sedikit lebih jelas mengapa kesehatannya yang jelas menyiratkan konsistensi? Tentu saja tidak jelas bagi saya karena pertanyaan ini ada: p
Charlie Parker

@CharlieParker Saya membaca komentar Anda di bawah posting lain. Saya tidak yakin ada teks untuk pemula yang menjelaskan dasar-dasar sistem bukti dan teori model lebih baik daripada bab pengantar "Model Theory" oleh Hodges. Satu pengecualian adalah "A Shorter Model Theory" oleh penulis yang sama. Saya akui, dalam posting saya, saya menipu dan mendefinisikan konsistensi sebagai kepuasan , karena titik berbicara tentang konsistensi adalah memiliki karakterisasi kepuasan dalam sistem bukti.
Dmitri Chubarov

Terima kasih! Aku akan memeriksanya! Sebenarnya, saya tidak perlu "buku pemula" dan baik buku yang baik. Jika buku ini juga menekankan intuisi dan ide daripada hanya bukti yang akan lebih baik!
Charlie Parker

2

Sistem pembuktian Anda tidak masuk akal atau konsisten, karena bukan proposisi yang benar kecuali , Dalam hal ini bukan proposisi yang benar. Argumen ini menunjukkan bahwa setiap sistem bukti suara juga konsisten.A ¬ A AA¬A


Apa yang salah dengan memiliki fungsi yang memetakan semuanya ke True atau False. dan adalah pemetaan simbol untuk True (seperti dalam sistem yang saya definisikan). Saya tidak yakin apa yang secara teknis salah dengan itu selain tidak menjadi "menarik" untuk melakukan matematika nyata. Tetapi mendefinisikan sistem nyata untuk melakukan matematika bukanlah tujuan dari pertanyaan saya. A ¬ ATruth()A¬A
Charlie Parker

Kebenaran memiliki definisi semantik: mengevaluasi kebenaran di bawah semua penugasan kebenaran. Anda tidak bisa memilih bagaimana Anda mendefinisikan istilah ini.
Yuval Filmus

Mungkin di situlah saya bingung maka pertanyaan saya. Meskipun secara teknis Scott menyebutkan kebenaran tidak dapat didefinisikan secara matematis ... tetapi mari kita abaikan teknis itu demi argumen sehingga saya dapat memahami masalah ini. Bisakah Anda jelaskan lagi apa arti Kebenaran? Terima kasih atas kesabaran Anda. :)
Charlie Parker

1
Dalam konteks logika proposisional, rumus adalah tautologi jika itu benar dalam semua penugasan kebenaran. Sistem bukti proposisional adalah suara jika semua formula itu membuktikan adalah tautologis.
Yuval Filmus

Saya tahu Anda mencoba membantu dan saya menghargainya, tetapi entah bagaimana bukti Anda terlalu pendek untuk benar-benar menjelaskan kepada saya apa yang salah dengan contoh saya di pos asli. Jika Anda bisa mengklarifikasi itu akan luar biasa. Saya kira pertanyaan saya adalah, tugas kebenaran apa yang membawa masalah ke sistem yang saya sarankan?
Charlie Parker

2

Seringkali ketika kita datang dengan sistem logis, mereka dimotivasi oleh upaya untuk menggambarkan fenomena yang sudah ada sebelumnya. Sebagai contoh, aritmatika Peano adalah upaya untuk aksiomatiskan bilangan asli bersama dengan operasi penambahan dan perkalian.

Tingkat kesehatan hanya dapat didefinisikan relatif terhadap fenomena yang Anda coba gambarkan, dan pada dasarnya berarti bahwa aksioma dan aturan inferensi Anda benar-benar menggambarkan hal yang dimaksud. Jadi, misalnya, aritmatika Peano baik karena aksioma dan aturan inferensinya benar-benar berlaku untuk bilangan asli.

Ini, tentu saja, menyiratkan bahwa Anda memiliki konsep "bilangan alami" di luar definisi Peano tentang mereka, dan beberapa gagasan tentang apa yang benar atau salah untuk bilangan alami tanpa memperoleh kebenaran ini dari serangkaian aksioma tertentu. Mencoba menjelaskan dari mana kebenaran itu berasal atau bagaimana kebenarannya dapat mendaratkan Anda di perairan panas filosofis. Tetapi jika Anda menganggapnya sebagai ADA bilangan asli, dan ada beberapa fakta yang benar tentang mereka, maka Anda dapat melihat proyek aksiomatisasi hanya sebagai upaya untuk menghasilkan spesifikasi formal yang ringkas dari mana banyak yang paling penting kebenaran bisa diturunkan. Kemudian aksioma terdengar jika semua yang dapat dibuktikan benar-benar ada dalam kumpulan kebenaran yang telah ditentukan sebelumnya, yaitu,

(Catat secara khusus bahwa spesifikasi formal Anda tidak akan membuktikan segala sesuatu yang benar tentang bilangan asli, dan terlebih lagi tidak akan secara unik menggambarkan bilangan asli di mana ada struktur lain, berbeda dari bilangan asli, di mana aksioma Peano adalah juga benar.)

Dalam logika urutan pertama, setidaknya, sebuah teori konsisten jika memiliki model sama sekali. Kesehatan berarti memiliki model spesifik yang Anda inginkan: struktur khusus yang Anda coba gambarkan dengan teori Anda benar-benar adalah model dari teori Anda. Dari perspektif ini, jelas mengapa kesehatan menyiratkan konsistensi.

Sebagai contoh teori yang konsisten tetapi tidak masuk akal: Aritmatika Peano, PA, mampu menyandikan rumus logis sebagai konstruksi aritmatika, dan khususnya Anda dapat menyandikan kalimat "PA konsisten" ("tidak ada bukti kepalsuan dari aksioma PA "). Sebut kalimat ini Con (PA). Anda mungkin juga menyadari bahwa (karena itu suara, dan karenanya konsisten) PA tidak dapat membuktikan Con (PA), oleh teorema ketidaklengkapan Gödel yang pertama. Ini juga berarti teori PA +¬Con (PA) tidak dapat membuktikan kontradiksi, jadi itu harus konsisten. Tapi itu tidak masuk akal: ia mengklaim ada bilangan asli yang mengkode bukti kepalsuan dari aksioma PA, tetapi tidak mungkin ada bilangan seperti itu dalam bilangan asli "nyata", karena kalau tidak kita akan dapat mengekstraksi bukti asli dari inkonsistensi PA dari itu.

PA + Con (PA) memiliki model, tetapi mereka adalah model yang harus menyertakan objek "ekstra", "bilangan asli non-standar", termasuk yang diklaimnya mengkodekan "bukti" yang dimaksud. Teori ini sama sekali tidak dilengkapi dengan alat yang diperlukan untuk membedakan unsur-unsur non-standar ini dari anggota bonafid asli , atau untuk menunjukkan bahwa buktinya bukan bukti yang sah.N¬N

Anda dapat menafsirkannya sebagai: PA + Con (PA) adalah sistem logis yang sah - itu hanya tidak secara akurat menggambarkan bilangan asli, dan bilangan alami bukan model dari itu.¬

Satu hal lagi: kita tidak berasumsi bahwa aksioma benar menurut definisi. Semua aksioma menurut definisi hanyalah dasar pembangun bukti. Mereka hanya klaim: mereka hanya benar atau salah ketika diterapkan pada objek matematika tertentu. Anda dapat memiliki aksioma yang salah, itu sangat konyol, karena sistem Anda akan selalu dan segera tidak akan terdengar.


1

Untuk mendapatkan jawaban yang ringkas (dan intuitif), saya akan mengutip apa yang dikatakan Scott Aaronson dalam kuliahnya di 6.045 / 18.400 MIT. Dia mengatakan sesuatu seperti ini:

Kesehatan berarti segala sesuatu yang terbukti benar. Karena konsistensi berarti tidak ada kontradiksi dan kesehatan yang sudah melibatkan konsep kebenaran dan kebenaran harus konsisten (yaitu Benar! = Salah), maka itu harus berarti sistem Suara juga konsisten. Jadi Kesehatan menyiratkan konsistensi karena (benar) hal-hal yang benar tidak memiliki kontradiksi.

Sekarang setelah saya renungkan, saya menyadari bahwa saya memiliki beberapa asumsi / gagasan yang salah:

  1. Saya tidak menyadari bahwa kesehatan adalah tentang semantik. Jadi, saya gagal untuk menyadari bahwa hanya menggunakan aturan inferensi dari aksioma tidak cukup untuk menyebabkan konsekuensi yang benar (dan itu tidak menjaminnya, yang saya pikir tidak mungkin untuk mencapai hal-hal yang saling bertentangan selama kita mulai dari aksioma dan menggunakan aturan inferensi yang valid).
  2. Saya pikir selama aksioma itu benar dan aturan inferensi membuat semua yang berjalan benar. Yang sekarang saya sadari mungkin tidak benar karena jika kita hanya memiliki daftar aksioma raksasa dan kesimpulan menyimpulkan bahwa itu sulit untuk dipikirkan jika semua yang mengikuti akan benar. yaitu hanya mulai dari aksioma dan menggunakan aturan inferensi yang valid tidak cukup untuk menjamin bahwa langkah selanjutnya akan benar.
  3. Sebelumnya pada dasarnya digabungkan dengan fakta bahwa saya tidak menyadari bahwa ada dua tingkat kompleksitas, 1) semantik 2) sintaksis. Mengambang simbol-simbol permainan dapat menyebabkan kontradiksi.
  4. Saya tidak menyadari bahwa saya tidak tahu karakterisasi kebenaran yang tepat, yang derek membuat pekerjaan hebat dalam mengkarakterisasi.

"Saya pikir selama aksioma itu benar dan aturan inferensi masuk akal, semua yang terjadi akan benar." Untuk gagasan "masuk akal" yang tepat dan tepat, ini memang benar. Jika sistem Anda tidak sehat maka (setidaknya) salah satu aksioma Anda salah, atau aturan inferensi tidak valid.
Ben Millwood

@ BenMillwood tapi itu salah, bukan? Karena teorema ketidaklengkapan Godel yang kedua. Untuk setiap sistem formal F yang mencakup aritmatika, seseorang tidak dapat membuktikan konsistensinya dalam F. Saya menganggap bahwa asumsi saya tentang kesehatan tidak mungkin (yaitu kita tidak dapat memiliki sistem formal bahwa segala sesuatu yang dibuktikan di dalamnya adalah Benar karena itu akan menyiratkan konsistensi yang tidak mungkin tampaknya, kecuali tentu saja saya memiliki beberapa kesalahpahaman tentang teorema ketidaklengkapan ke-2). Sejujurnya aku baik-baik saja jika kita tidak memiliki kelengkapan, yang saya temukan mengganggu adalah kita bahkan tidak dapat memiliki konsistensi.
Charlie Parker

F tentu bisa konsisten, Anda tidak dapat menemukan bukti fakta itu di F. Anda harus mengajukan banding ke sistem yang lebih kuat, atau argumen informal, atau hanya menerima semacam ketidakpastian bahwa meskipun F mungkin konsisten Anda tidak akan dapat membangun argumen kedap air yang memang demikian.
Ben Millwood

@ BenMillwood Saya kira itulah yang saya asumsikan dalam jawaban saya. Bahwa ada ketidakpastian bahwa bukti benar-benar berfungsi dan langkah selanjutnya dapat mengarah pada beberapa kepalsuan. Jika saya tahu itu tidak benar maka saya akan tahu pasti bahwa saya tidak akan pernah mencapai kontradiksi yang melanggar teorema ketidaklengkapan 2 Godel. Atau itulah yang saya mengerti sejauh ini sekarang.
Charlie Parker

@ BenMillwood Saya kira saya telah meninggalkan kepercayaan bahwa menerapkan aturan inferensi memberi kita pernyataan selanjutnya yang merupakan pernyataan benar dengan 100%. Sebaliknya saya pikir saya secara implisit telah mengasumsikan keyakinan bahwa bergerak maju hanya masalah sintaksis daripada semantik ... tentu saja bisa salah, subjek ini tampaknya membingungkan dan halus.
Charlie Parker
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.